2. Encontre os valores máximo e mínimo locais e globais de f x no intervalo.

d. f x = sin ⁡ x ,   - π ≤ x ≤ 3 π

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Antes de tudo, precisamos entender que pontos são esses!

Um ponto de máximo é um ponto na função que é maior que os pontos próximos a ele. Em um gráfico, é como se tivéssemos o topo de uma colina. Já um ponto de mínimo é justamente o contrario, podemos pensar que ele tem a forma de um buraco.

E como sabemos se uma função não terá um máximo ou mínimo?

Repara que no gráfico acima possui uma reta azul, nos pontos de máximo e mínimo, que representa a reta tangente ao ponto. Se a gente olhar com calma, vamos perceber que tanto pra pontos de máximo quanto pra pontos de mínimo a reta tangente à eles é horizontal, ou seja, o coeficiente angular delas é zero.

Lembra que o coeficiente angular da reta tangente a um ponto é justamente a derivada da curva naquele ponto? Opaaa, então a gente acabou de chegar a conclusão de que para pontos de máximo e mínimo, a derivada da curva é nula naquele ponto.

f ' a = 0

Ou seja, galerinha, o que temos que fazer aqui é derivar e igualar a zero para acharmos os pontos de máximo e mínimo.

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte função,

f x = sin ⁡ x

Derivando ficamos com,

f ' x = cos ⁡ x

Igualando a zero ficamos com,

cos ⁡ x = 0

x = n π 2

Onde, n é um número inteiro ímpar.

Porém queremos saber os máximos e mínimos dentro do seguinte intervalo

- π < x ≤ 3 π

Sendo assim temos máximos e mínimos nos pontos onde,

n = - 1 ,   + 1   e + 3

Agora temos que descobrir quais pontos são máximo e mínimos.

Passo 3

Para saber se temos um ponto de máximo ou mínimo temos que substuir esse valores na função. Lembrando que a função seno varia de - 1 até + 1 .

Para n = - 1

f - π 2 = sin ⁡ - π 2 = - 1

Logo esse é um ponto de mínimo.

Para n = + 1

f + π 2 = sin ⁡ + π 2 = + 1

Logo esse é um ponto de máximo.

Para n = 3

f + 3 π 2 = sin ⁡ + 3 π 2 = + 1

Logo esse é um ponto de máximo.

Resposta

Máximos: x = + π 2   e + 3 π 2

Mínimos: x = - π 2

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