2. Encontre os valores máximo e mínimo locais e globais de f(x) no intervalo.

g. f(x) = x^2 + 2x + 1, -2 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Antes de tudo, precisamos entender que pontos são esses!

Um ponto de máximo é um ponto na função que é maior que os pontos próximos a ele. Em um gráfico, é como se tivéssemos o topo de uma colina. Já um ponto de mínimo é justamente o contrario, podemos pensar que ele tem a forma de um buraco.

E como sabemos se uma função não terá um máximo ou mínimo?

Repara que no gráfico acima possui uma reta azul, nos pontos de máximo e mínimo, que representa a reta tangente ao ponto. Se a gente olhar com calma, vamos perceber que tanto pra pontos de máximo quanto pra pontos de mínimo a reta tangente à eles é horizontal, ou seja, o coeficiente angular delas é zero.

Lembra que o coeficiente angular da reta tangente a um ponto é justamente a derivada da curva naquele ponto? Opaaa, então a gente acabou de chegar a conclusão de que para pontos de máximo e mínimo, a derivada da curva é nula naquele ponto.

f ' a = 0

Ou seja, galerinha, o que temos que fazer aqui é derivar e igualar a zero para acharmos os pontos de máximo e mínimo.

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte função,

f x = x 2 + 2 x + 1

Derivando ficamos com,

f ' x = 2 x + 2

Igualando a zero ficamos com,

2 x + 2 = 0

x = - 1

Note que este valor está dentro do intervalo dado

- 2 < x ≤ 2

Agora temos que descobrir quais pontos são máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer o teste da segunda derivada!

Passo 3

Neste teste nós temos que calcular a segunda derivada e substituir o nosso ponto, no caso x = - 1 . Se a derivada segunda for maior que zero temos um ponto de mínimo e se ela for menor que zero temos um ponto de máximo.

Fazendo a segunda derivada ficamos com,

f " ( x )   = 2

Note que a segunda derivada deu uma constante igual a 2 . Ou seja, ela é maior que zero, então temos um ponto de mínimo.

Resposta

Ponto de mínimo em x = - 1

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