3. Encontrei os pontos críticos de f x

b. f x = x 3 + 3 x 2 - 24 x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Antes de tudo, precisamos entender que pontos são esses!

Um ponto de máximo é um ponto na função que é maior que os pontos próximos a ele. Em um gráfico, é como se tivéssemos o topo de uma colina. Já um ponto de mínimo é justamente o contrario, podemos pensar que ele tem a forma de um buraco.

E como sabemos se uma função não terá um máximo ou mínimo?

Repara que no gráfico acima possui uma reta azul, nos pontos de máximo e mínimo, que representa a reta tangente ao ponto. Se a gente olhar com calma, vamos perceber que tanto pra pontos de máximo quanto pra pontos de mínimo a reta tangente à eles é horizontal, ou seja, o coeficiente angular delas é zero.

Lembra que o coeficiente angular da reta tangente a um ponto é justamente a derivada da curva naquele ponto? Opaaa, então a gente acabou de chegar a conclusão de que para pontos de máximo e mínimo, a derivada da curva é nula naquele ponto.

f ' a = 0

Além disso, galerinha, temos os pontos onde a derivada é zero ou não existe: são os pontos críticos. Assim, pontos de máximo ou mínimo sempre serão pontos críticos.

Então, galerinha, nós precisamos derivar a nossa função e igualar a zero para encontrar o nossos pontos críticos.

Passo 2

Temos a seguinte função,

f x = x 3 + 3 x 2 - 24 x

Derivando,

f ' x = 3 x 2 + 6 x - 24

Igualando a zero,

3 x 2 + 6 x - 24 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau,

x = - 6 ± 6 2 - 4 3 - 24 2 3 = - 6 ± 18 6

Logo, as duas raízes serão

x 1 = 2

x 2 = - 4

Logo, temos dois pontos críticos em x 1 = 2 e x 2 = - 4 .

Resposta

x 1 = 2

x 2 = - 4

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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