UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.3.2b
2. Esboce os gráficos das funções abaixo indicando: o domínio; as assíntotas, caso existam; os intervalos de crescimento e decrescimento; os extremos relativos e absolutos, caso existam; os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo; os pontos de inflexão, caso existam.
(b)
Passo 1
Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉
Nesse problema foi dado uma função e nosso objetivo é esboçar o gráfico de , o domínio, as assíntotas, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos e absolutos, os intervalos onde a função tem concavidade positiva e negativa e também os pontos de inflexão.
Pouca coisa, né? Graças a Deus! Tem ideia de como fazer tudo isso? 😐
O domínio da função é nada mais que os possíveis valores que pode assumir em para que seja definida.
Para calcular as assíntotas, fazemos o limite de para e , se os resultados forem iguais, temos uma assíntota horizontal em . Agora para as assíntotas verticais fazemos o limite de para tendendo ao ponto onde é indefinido.
Já a partir da derivada de , podemos obter os intervalos onde é crescente e decrescente . Também fazendo podemos obter os pontos críticos onde podemos descobrir quais são de máximo, de mínimo ou de inflexão.
Muita coisa, não é? Bora começar! 👀
Passo 2
A função dada é
Perceba que a função se trada de uma fração onde no numerador temos e no denominador .
No numerador não temos restrição alguma pra , porém no denominador de qualquer fração sabemos que não podemos ter , logo, para nossa função temos que
Dessa forma, o domínio de é dado por
Agora para verificar a existência de assíntotas horizontais, fazemos
Se aplicarmos diretamente, vamos cair em uma indeterminação , então podemos aplicar a regra de L’Hopital e derivar o numerador e o denominador...
Aplicando a regra novamente...
Dessa forma, temos
Já para assíntotas verticais temos
Quando tende a , o numerador tende a um número muito pequeno, muito próximo de , assim quando temos um número relativamente grande sendo dividido por um número muito pequeno o resultado é um número tão grande que se aproxima de , assim, podemos dizer que
Dessa forma, em temos uma assíntota vertical!
Logo, não há assíntotas horizontais, mas há uma assíntota vertical em ...
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada de para determinar os outros resultados.
Pela regra do quociente, temos
A partir dessa derivada, podemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de , os extremos relativos, os pontos críticos e os intervalos de concavidade de .
Fazendo , encontramos os pontos críticos, como
Simplificando...
Colocando em evidência...
Porém sabemos que em temos uma assíntota vertical, então não é definida nesse ponto.
A partir desses pontos, podemos usar o teste da segunda derivada para descobrir qual é ponto de máximo, qual é ponto de mínimo e qual é ponto de inflexão.
Se o ponto é ponto de mínimo, mas se o ponto é ponto de máximo e se , o ponto é de inflexão...
Vamos calcular a segunda derivada de !
Novamente pela regra do quociente...
Substituindo
Portanto em temos um ponto de inflexão!
Agora vemos como é
Como , então é um ponto de mínimo local!
Legal, né? 😐
Passo 4
A partir dessas informações que obtemos até agora, podemos afirmar que nos intervalos e a função é crescente e entre a função é decrescente.
Como o ponto de inflexão é o ponto que separa as concavidades da função, ou seja, para , a função possui concavidade negativa, enquanto para a função possui concavidade positiva...
Com isso, temos muitas informações para esboçar o gráfico da função como...
Pegou o esquema? Responde Aí! 😁
Resposta
Não há assíntotas horizontais, mas há uma assíntota vertical em .
: ponto de inflexão
: ponto mínimo.
e a função é crescente e entre a função é decrescente.
Para , a função possui concavidade negativa, enquanto para a função possui concavidade positiva.