1.1. Esboce a região D e determine o máximo e o mínimo absolutos da função f: D → R quando

c. f(x, y) = xy e D = { (x, y) ∈ R^2 : x^2 - y^2 = 1, x ∈ [1, 2] } ;

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter os pontos máximos e mínimos da função f x , y = x y dentro da região D limitada pela hipérbole x 2 - y 2 = 1 em x ∈ 1,2 .

Parece de boa? 👀

Nesses casos, quando temos que obter os pontos máximos e mínimos podemos seguir uns passos...

Primeiro calculamos os pontos críticos de f normalmente e verificamos se esses pontos estão dentro da região D ... caso eles não estiverem, descartamos.

Depois calculamos os pontos críticos nas bordas da região substituindo as equações que limitam D na função f .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter a região D

Esboçando a região limitada por pela hipérbole entre x = 1 e x = 2 , temos

Primeiro vamos obter os pontos críticos gerais da função.

f x = ∂ x y ∂ x = 0

y = 0

f y = ∂ x y ∂ y = 0

x = 0

Portanto a função f possui apenas um ponto crítico e é dado em P 1 = 0,0 , mas esse ponto está fora do intervalo de x .

Agora vamos analisar a função nas curvas que limitam a região D , primeiro na reta x = 2 , temos

f 2 , y = 2 y

Como se trata de uma reta, não temos pontos críticos sobre ela...

Agora substituindo x 2 - y 2 = 1 na função fazendo y = x 2 - 1

f x ,   x 2 - 1 = x x 2 - 1

Obtendo os pontos críticos dessa curva, temos

f x = d x x 2 - 1 d x = 2 x 2 - 1 x 2 - 1 = 0

x = ± 1 2

Como ambos os pontos estão fora do intervalo x ∈ 1,2 , então até aqui não temos nenhum ponto a se analisar...

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Dessa forma, só nos resta obter as imagens de f nos vértices 2 , 3 e 2 , - 3

Para o ponto 2 , 3

f 2 , 3 = 2 3

Para o ponto 2 , - 3

f 2 , - 3 = - 2 3

Com isso vemos que o ponto máximo é 2 , 3 com f 2 , 3 = 2 3 e o ponto mínimo é 2 , - 3 com f 2 , - 3 = - 2 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

O ponto máximo é 2 , 3 com f 2 , 3 = 2 3 e o ponto mínimo é 2 , - 3 com f 2 , - 3 = - 2 3 .

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