1.1. Esboce a região D e determine o máximo e o mínimo absolutos da função f : D → R quando

a. f x , y = 5 - 3 x + 4 y e D é o triângulo (com interior e lados inclusos) cujos vértices são 0,0 , 4,0 e 4,5 ;

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos obter os pontos máximos e mínimos da função f x , y = 5 - 3 x + 4 y dentro da região D limitada pelo triangulo de vértices em 0,0 , 4,0 e 4,5 .

Parece de boa? 👀

Nesses casos, quando temos que obter os pontos máximos e mínimos podemos seguir uns passos...

Primeiro calculamos os pontos críticos de f normalmente e verificamos se esses pontos estão dentro da região D ... caso eles não estiverem, descartamos.

Depois calculamos os pontos críticos nas bordas da região substituindo as equações que limitam D na função f .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter a região D

Esboçando os vértices e as retas que ligam os vértices, temos

Com isso, vemos que as bordas da região D é dada pelas curvas x = 4 , y = 0 e y = 5 4 x .

Vamos começar obtendo os pontos críticos da função f , ou seja

f x = 0

f y = 0

Obtendo as derivadas parciais...

∂ 5 - 3 x + 4 y ∂ x = - 3 = 0

∂ 5 - 3 x + 4 y ∂ 4 = 4 = 0

Como o resultado é impossível, vemos que f não possui pontos críticos, logo podemos restringir a busca pelos pontos máximos e mínimos aos vértices de D já que f é um plano...

Para o ponto ( 0,0 )

f 0,0 = 5 - 3 0 + 4 0 = 5

Para o ponto 4,0

f 4,0 = 5 - 3 4 + 4 0 = - 7

E para o ponto 4,5

f 4,5 = 5 - 3 4 + 4 5 = 13

Assim, vemos que o máximo de f ∈ D é dado no ponto 4,5 onde f 4,5 = 13 .

Já o ponto mínimo é dado no ponto 4,0 em que f 4,0 = - 7

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Máximo: 4,5

Mínimo: 4,0

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