Estude a função f : R{0} → R dada por f(x) = x * e^(2/x)

1) Estude o crescimento de f , determinando os pontos de máximo e de mínimo locais e globais de f , se existirem.

2) Estude a concavidade de f.

3) Determine as assíntotas do gráfico de f , se existirem.

4) Faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

Primeiro precisamos esturdar os máximos e mínimos, certo? Fazemos isso com a primeira derivada. Bola lá então

f ' x = e 2 x x - 2 x

Sabemos então que a função pode ser zero em x = 2 , e sabemos ainda que a função não existe em x = 0 ,   afinal não adimitos divisão por zero.

Observe que para x < 2 e maiores que 0, nossa derivada é negativa, logo a função é decrescente

e 2 - 1 1 = - e 2

Para valores maiores que 2 a derivada é positiva, logo a f ( x ) é crescente

e 2 3 1 3

Temos então que 2 é um valor de mínimo

Vamos analisar x < 0 .

e - 2 - 3 - 1 = 3 e 2

Temos então a função crescente.

Passo 2

Para estudarmos a concavidade, vamos usar a segunda derivada.

f ' ' x = 4 e 2 x x 3

Por essa função sabemos apenas que ele não existe em x = 0 , então vamos analisar esse ponto.

Para x > 0

4 e 2 1

Opa, positivo, então concavidade virada pra cima nesse intervalo.

Para x < 0

4 e - 2 - 1

Negativo, logo, concavidade para baixo.

Temos então uma concavidade para baixo até x = 0 , depois temos concavidade para cima.

Passo 3

Para determinarmos as assíntotas horizontais, queremos saber como a função se comporta quanto x → ∞

lim x → ∞ ⁡ x e 2 x = ∞ . e 2 ∞ = ∞ × 1 = ∞

O mesmo acontece para x → - ∞ .

Para as assíntotas verticais, analisamos o comportamento dela quando tende aos valores onde ela não existe. Observaque não admitomos divisão por zero, logo, bora fazer esse limite aí.

lim x → 0 + ⁡ x e 2 x

lim x → 0 + ⁡ e 2 x 1 x

Aplicando a regra de L’hospital

lim x → 0 + ⁡ - 2 e 2 x x 2 - 1 x 2

lim x → 0 + ⁡ 2 e 2 x = 2 e 2 0 + = 2 × ∞ = ∞

Agora x → 0 -

lim x → 0 - ⁡ x e 2 x

lim x → 0 - ⁡ x × lim x → 0 - ⁡ e 2 x

0 × 0 = 0

Com isso tudo na mão agora é só montar nossa integral.

Passo 4

Observa os pontos que precisamos pra montar o gráfico que descobrimos anteriormente nos cálculos.

Resposta

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