Explique a diferença entre um mínimo local e um mínimo absoluto

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos começar com o que é um máximo ou um mínimo de uma função: quando uma função vai aumentando sua imagem e em um determinado ponto do domínio o valor da imagem estagna e começa a cair: aí temos um máximo da função, como esses pontos circulados aqui embaixo

A gente chama esses máximos de máximo local

Isso porque em torno daquela parte da função ela vai apresentar um pico de máximo. Mas será que é o máximo absoluto?

Não sabemos! Máximo absoluto é aquele maior máximo em toda função: é a maior imagem que ela atinge!

Então nesse nosso exemplo o máximo absoluto seria o ponto circulado em azul

Obs.: Podemos olhar pela derivada: derivada passa de valores positivos para negativos – temos um máximo local

x ± ) a função cai pra - ∞ , isso significa que ela não explode. Então temos um máximo global mesmo. Caso uma das pontas fosse para + ∞ teríamos apenas máximos locais.

Também teríamos máx absoluto se a função estivesse definida em um intervalo fechado. Dentro de um intervalo fechado sempre teremos máx e mín absolutos: nos pontos críticos ou nos extremos do intervalo

Beleza? Vamos ver o mínimo?

Passo 2

Agora vamos analisar os pontos de mínimo: aqui é o mesmo pensamento, mas com a imagem diminuindo. Em torno do ponto de mínimo local a função vai assumindo cada vez valores menores, até que para essa queda e começa a subir. Nesse ponto temos um mínimo local

Podemos olhar pela derivada: a derivada passa de um valor negativo, para um valor positivo: temos um mínimo local

Aparentemente temos um mínimo global no ponto azul: não nessa função não temos um mínimo global! Ué, como assim?

Nota os limites quando x → ± ∞ dessa função: ela não vai pra - ∞ nas duas pontas? Vai! Então temos mínimos locais (nos pontos circulados), mas como a função parece que tende a - ∞ nas duas pontas: não temos um mínimo global!

Teríamos um mínimo global (assim como máximo global) se o intervalo fosse fechado: teríamos obrigatoriamente.

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

m á x   l o c a l : d e r i v a d a   p a s s a   d e   v a l o r e s   p o s i t i v o s   p a r a   n e g a t i v o

m í n   l o c a l : d e r i v a d a   p a s s a   d e   v a l o r e s   n e g a t i v o s   p a r a   p o s i t i v o s

m á x min ⁡ a b s o l u t o :   m a i o r   e   m e n o r   v a l o r   q u e   a   f u n ç ã o   a s s u m e  

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