UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 64
Às horas da manhã, um navio encontra-se a a leste de outro navio . O navio navega rumo oeste a , enquanto navega rumo sul a . Considerando que os navios mantenham essas direções, determine a menor distância entre os navios e quando essa distância ocorrerá.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a menor distância entre os navios e quando isso ocorrerá. Pra isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:
Pra evitar trabalharmos com raízes muito complicadas, vamos minimizar o quadrado da distância, que vamos chamar de . Como a distância do navio ao navio é de e ele navega a , temos e . O navio sai da origem e navega a , então temos e .
Substituindo esses valores na equação, vamos derivar e igualar a zero para encontrar a menor distância.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar substituindo os valores na equação da distância:
Expandindo a expressão:
Igualando a zero:
Lembra do do vértice de uma parábola? Ele representa o ponto de máximo ou mínimo de uma função quadrática. Então, podemos usar ele para calcular nosso ponto crítico, que é dado pela fórmula:
Na nossa equação e , então temos:
Logo, a distância máxima ocorrerá depois do ínicio da trajetória, ou seja, às . Substituindo na equação da distância, teremos:
Que é a nossa distância máxima.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉