UFMG; Cálculo 1; Prova 2 – 2019.1; Exercício 3
3) Uma janela tem a forma de um semicírculo encimado por um retângulo. Se o perímetro da janela deve ser de , determine os lados do retângulo que proporcionam área máxima para a janela.
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Para começarmos o desenvolvimento, vamos esboçar a nossa janela:
Assim fica bem mais fácil de visualizar, não é?
Aproveitando, chamaremos o lado do retângulo de e essa é a dimensão que o exercício pede para encontrarmos.
Vamos resolver esse problema?
Passo 2
Definindo o perímetro:
A região do semicírculo é dada por (metade de , o perímetro total da circunferência).
A base do retângulo mede .
As laterais somam .
Então:
Esse é o nosso perímetro.
Podemos aproveitar esse momento para isolarmos
Passo 3
Como o enunciado envolve a área máxima, vamos definir a área da nossa janela.
Área do semicírculo:
Área do retângulo:
Então:
Como conhecemos , vamos substituir:
Passo 4
Finalmente chegamos no que o enunciado nos pede. Para maximizarmos a área, vamos derivar e igualar a zero.
Sabemos que será um ponto de máxima por se tratar de uma equação do segundo grau com coeficiente que acompanha o termo quadrado negativo, e automaticamente com a concavidade para baixo. Logo, teremos um ponto de máximo.
Derivando:
Igualando a zero:
Passo 5
Bacana, encontramos ! Mas ainda não acabamos...
Vamos aplicar na função do perímetro:
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?