UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 68
Um dos lados de um campo retangular é limitado por um trecho de rio em linha reta. Deseja-se
cercar o campo com um fio de comprimento . Determine as dimensões do campo sabendo que a área é a maior possível.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar as dimensões da maior área possível do campo que vai ser cercado com um fio de comprimento . Pra isso, vamos chamar de a largura do campo e de seu comprimento. Assim, pela fórmula de área do retângulo, temos:
Além disso, como um dos lados é cercado pelo trecho do rio, nós vamos precisar cobrir com o fio apenas lados do campo retangular. Assim, o perímetro desses três lados será dado por:
Então, vamos isolar nessa equação e substituir na expressão da área . Em seguida, vamos derivar a expressão obtida e igualar o resultado a zero para encontrar os pontos cr��ticos da função. Por fim, vamos conferir, pelo teste da segunda derivada, se esses pontos encontrados são pontos de máximo ou de mínimo.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar isolando na expressão do perímetro:
Substituindo isso na equação da área, , temos:
Passo 3
Derivando a equação da área, vamos obter:
Igualando esse resultado a zero:
Esse é o valor crítico da função. Vamos agora verificar se esse é um ponto de máximo ou de mínimo, usando o teste da segunda derivada.
Passo 4
Derivando mais uma vez, temos:
Como é sempre negativo, pelo teste da segunda derivada, é de fato um máximo da função. Então, vamos substituir esse valor em para encontrar o valor de :
Portanto, as dimensões máximas do campo, que serão cercadas com o fio de comprimento , é e .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉