UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.19
Mostre que é um ponto crítico da função , com . É verdade que esta função tem um ponto máximo ou mínimo em ? Explique!
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para mostrarmos que é um ponto crítico da função , com .
Além disso, a questão nos pergunta se esse ponto é máximo ou mínimo (ou nenhum dos dois).
Para isso, primeiramente precisamos derivar e igualar essa derivada no ponto igual a zero.
Caso , está provado que é um ponto crítico.
Depois vamos analisar direitinho o comportamento de máximos e mínimos.
Quer saber como? Então bora junto!!
😉
Passo 2
Assim, derivando a função , temos:
Fazendo e igualando a zero, temos:
Portanto está provado que é um ponto crítico.
Passo 3
Agora, vamos analisar a questão de existência de ponto máximo ou mínimo em para a função :
Se for um número par, o termo será sempre não negativo, resultando em para todos os valores de .
Nesse caso, a função não terá ponto máximo ou mínimo em , pois não há variação de sinal na vizinhança de .
Por outro lado, se for um número ímpar, o termo poderá ser positivo ou negativo, dependendo do valor de em relação a .
No entanto, observe que o termo na função faz com que a função tenha um deslocamento vertical para cima, o que significa que o ponto crítico não será nem ponto máximo nem ponto mínimo, mas sim um ponto de inflexão, onde a concavidade da função muda.
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
Não há pontos de máximo ou mínio em