Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal sobre a ação de uma força

F agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo θ com o plano,

então a intensidade da força é

F   =   μ m g μ s e n ( θ )   +   c o s ( θ )

onde µ, é uma constante chamada coeficiente de atrito. Para qual valor de θ a F é a menor

possível?

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão nos pede para calcular qual o valor de θ para o qual a força exercida por uma corda sobre um objeto de massa m atinge seu valor mínimo. Para descobrir isso, precisamos saber qual é a taxa de variação da força em relação ao ângulo θ   que a corda faz com o eixo horizontal. Para o valor de θ que extremiza essa função, temos que a taxa de variação de F é nula, pois esse θ representa um ponto de mínimo da função força. Mas como podemos calcular essa taxa de variação? Calculando a derivada da força em relação ao ângulo através da expressão dada! Vamos lá?

Passo 2

Para calcular a derivada da força, vamos utilizar a regra da cadeia. A dependência da força com o ângulo pode ser escrita como

F ( θ )   =   μ m g ( μ s e n ( θ ) + c o s ( θ ) ) - 1

Olhando a expressão da força, reconhecemos que se trata de uma função composta. Se definirmos uma função h ( y )   =   μ m g × y - 1 e uma função y ( θ )   =   μ s e n ( θ ) + c o s ( θ ) , podemos escrever a expressão da força como F ( θ )   =   h ( y ( θ ) ) e sua derivada na forma:

d d θ F ( θ ) =   d d y h ( y ) × d d θ y ( θ )  

Como a derivada da soma de funções é simplesmente a soma das derivadas e, como as derivadas de seno e cosseno são, respectivamente, d d θ s e n ( θ )   =   c o s ( θ ) e d d θ c o s ( θ )   =   - s e n ( θ ) , temos então que

F ' ( θ ) = μ m g × ( - 1 ) ( μ s e n ( θ ) + c o s ( θ ) ) - 2 × ( μ c o s ( θ ) - s e n ( θ ) )   =   μ m g ( μ c o s ( θ ) - s e n ( θ ) ) ( μ s e n ( θ ) + c o s ( θ ) ) 2

Passo 3

Finalmente, para descobrir quando a taxa de variação da força em relação ao ângulo é nula, precisamos igualar a derivada da força em relação à θ à zero. Fazendo isso, obtemos

  μ m g ( μ c o s ( θ ) - s e n ( θ ) ) ( μ s e n ( θ ) + c o s ( θ ) ) 2   =   0

Como μ m g ≠   0 , essa razão só será nula quando o numerador se anular. Portanto, queremos descobrir o valor do ângulo θ para o qual μ c o s ( θ ) - s e n ( θ ) = 0 . Assim temos a relação para θ e μ :

μ c o s ( θ )   =   s e n ( θ )   ⇔   t g ( θ )   =   μ

Portanto, temos que o ângulo para o qual a força exercida pela corda sobre o objeto de peso mg é mínima é θ   =   a r c t g ( μ ) .

Resposta

θ   =   a r c t g ( μ )

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