UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 11.2
Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal sobre a ação de uma força
F agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo com o plano,
então a intensidade da força é
onde µ, é uma constante chamada coeficiente de atrito. Para qual valor de a F é a menor
possível?
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado da questão nos pede para calcular qual o valor de para o qual a força exercida por uma corda sobre um objeto de massa m atinge seu valor mínimo. Para descobrir isso, precisamos saber qual é a taxa de variação da força em relação ao ângulo que a corda faz com o eixo horizontal. Para o valor de que extremiza essa função, temos que a taxa de variação de F é nula, pois esse representa um ponto de mínimo da função força. Mas como podemos calcular essa taxa de variação? Calculando a derivada da força em relação ao ângulo através da expressão dada! Vamos lá?
Passo 2
Para calcular a derivada da força, vamos utilizar a regra da cadeia. A dependência da força com o ângulo pode ser escrita como
Olhando a expressão da força, reconhecemos que se trata de uma função composta. Se definirmos uma função e uma função , podemos escrever a expressão da força como e sua derivada na forma:
Como a derivada da soma de funções é simplesmente a soma das derivadas e, como as derivadas de seno e cosseno são, respectivamente, e , temos então que
Passo 3
Finalmente, para descobrir quando a taxa de variação da força em relação ao ângulo é nula, precisamos igualar a derivada da força em relação à à zero. Fazendo isso, obtemos
Como , essa razão só será nula quando o numerador se anular. Portanto, queremos descobrir o valor do ângulo para o qual . Assim temos a relação para e :
Portanto, temos que o ângulo para o qual a força exercida pela corda sobre o objeto de peso mg é mínima é .