Um ponto x₀ ∈ dom(f) é chamado máximo local de f se existe δ > 0 tal que

f(x₀) ≥ f(x), ∀ x ∈ dom(f) ∩ (x₀ - δ, x₀ + δ)

Naturalmente, todo ponto de máximo de f é um ponto de máximo local de f . Supondo que x = x_0 é um ponto de máximo local de f onde a derivada f'(x0) existe, resolva os itens abaixo.

a)Usando a desigualdade acima, verifique que a derivada lateral à direita satisfaz

f'(x0) = lim (x → x0) [f(x) - f(x0)] / [x - x0] ≤ 0

b) Repetindo o argumento, verifique que a derivada lateral à esquerda satisfaz

f'(x0) = lim x→x0 [f(x) - f(x0)] / [x - x0] ≥ 0

c)Lembrando que as derivadas laterais coincidem, conclua que f'(x0) = 0

Passo 1

Olá pessoal lindo do Responde Aí, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos começar?

A questão puxa bastante a teoria por isso pode parecer mais complicadinha, mas vamos fazer com calma. Ok?

No item a), devemos verificar se a derivada lateral à direita, ou seja, o x tende a x 0 pelo lado positivo satisfaz

f ' + ( x 0 )   =   l i m x → x 0 + f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 ≤   0

Vamos supor que hipoteticamente nossa função f seja expressa pelo gráfico:

Veja que como o meu x sempre estará a direita do meu x 0 isso significa que ( x - x 0 ) sempre será positivo. Logo, como o enunciado nos informou que f ( x 0 ) ≥   f ( x ) para todo x significa que

f ' + ( x 0 )   =   l i m x → x 0 + f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 ≤   0

será verdadeiro visto que o numerador da equação f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 sempre será negativo e o denominador sempre será positivo. Portanto pelo jogo de sinal + -   ≤   0 .

Passo 2

Já o item b) quer saber se a derivada lateral à esquerda também satisfaz a

f ' + ( x 0 )   =   l i m x → x 0 - f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 ≥   0

Bom, utilizando o mesmo gráfico anterior porém agora vamos nos aproximar x 0 pela esquerda temos que

Observe que meu x   está a esquerda do meu x 0 , ou seja, sempre ( x - x 0 ) será negativo. Assim

conclui-se que f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 , sempre será positivo. Portanto a derivada também é satisfeita.

Passo 3

Por fim, temos o item c) que deseja que concluirmos o seguinte:

f ' ( x 0 )   =   0

E aí? O que vocês acham?

Bom gente, como os limites laterais coincidem pois a questão afirma isso nesse item, significa que a derivada existe sim nesse ponto. Além disso a questão afirma que x 0 é um ponto de máximo local e sabemos que a derivada em pontos de máximos e mínimos locais é 0 , portanto com base em ambos os quesitos podemos afirmar sim que f ' ( x 0 )   =   0 .

E aí? Te ajudei? Show!

Resposta

Resolução nos passos acima

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