7.28. Para que pontos da circunferência x 2 + y 2 = 25 a soma das distâncias a 2,0 e - 2,0 é mínima?

Passo 1

Suave na nave?! Tá complicada essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos uma circunferência dada pela equação x 2 + y 2 = 25 e queremos descobrir os pontos dessa circunferência que estão mais próximos dos pontos 2,0 e - 2,0 .

E aí, como fazemos isso? 🤔

A equação da circunferência centrada na origem é dada genericamente como x 2 + y 2 = r 2 onde r é o raio dessa circunferência.

A equação do problema é dada por x 2 + y 2 = 25 , ou seja, uma circunferência de raio r = 25 = 5 .

Consegue ver isso? 😁

Passo 2

Esboçando a circunferência e os pontos P 1 = 2,0 e P 2 = - 2,0 , temos

Uma circunferência nada mais é que pontos equidistantes de um ponto no espaço, então se fizermos uma circunferência centrada em P 1 , podemos dizer que o ponto mais próximo de P 1 a x 2 + y 2 = 25 , é o ponto que tangencia a circunferência. E o mesmo podemos aplicar para P 2 .

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Qual é a menor circunferência que podemos traçar com centro em P 1 que tangencie a circunferência x 2 + y 2 = 25 ?

Veja só

Aqui fica claro que o ponto 5,0 é o ponto da circunferência que é mais próximo a P 1 .

Podemos explicar isso pois uma circunferência tangente a x 2 + y 2 = 25 e centrada em P 1 intersecta x 2 + y 2 = 25 no ponto 5,0 .

Bacana, não é? 👀

Passo 4

Fazendo o mesmo para P 2 ...

Perceba que o mesmo é valido para P 2 , só que no lado oposto, em - 5,0 .

Com isso, vemos que os pontos da circunferencia mais próximos a P 1 e P 2 são os pontos 5,0 e - 5,0

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

5,0 e - 5,0

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