43. Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite máximo e mínimo.

a) { x / (1 + x^2) ; -2 ≤ x ≤ 2 }

Passo 1

Falaa... tudo bem??

Nessa questão vamos provar que a função x 1 + x 2 possui máximo e mínimo no intervalo - 2,2 .

Pra isso vamos usar o Teorema de Weierstrass que diz que se uma função f x for contínua e definida em um intervalo fechado e limitado a , b , então f x tem um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo.

Passo 2

Aqui temos a função:

f x = x 1 + x 2

Quando temos uma função que tem fração, precisamos ter cuidado com a parte de baixo para não ser zero, mas no nosso caso nunca vai ser zero, pois 1 + x 2 é sempre positivo.

Então a nossa função é contínua.

Temos também um intervalo fechado:

- 2 ≤ x ≤ 2

Portanto, pelo teorema de Weierstrass, a função f x tem máximo e tem mínimo.

Resposta

Demonstração

Exercícios de Livros Relacionados