43. Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite máximo e mínimo.

a) { x / (1 + x^2) ; -2 ≤ x ≤ 2 }

Passo 1

Falaa... tudo bem??

Nessa questão vamos provar que a função x 1 + x 2 possui máximo e mínimo no intervalo - 2,2 .

Pra isso vamos usar o Teorema de Weierstrass que diz que se uma função f x for contínua e definida em um intervalo fechado e limitado a , b , então f x tem um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo.

Passo 2

Aqui temos a função:

f x = x 1 + x 2

Quando temos uma função que tem fração, precisamos ter cuidado com a parte de baixo para não ser zero, mas no nosso caso nunca vai ser zero, pois 1 + x 2 é sempre positivo.

Então a nossa função é contínua.

Temos também um intervalo fechado:

- 2 ≤ x ≤ 2

Portanto, pelo teorema de Weierstrass, a função f x tem máximo e tem mínimo.

Resposta

Demonstração

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O gráfico da derivada f' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem?f'(x) = 100 * cos^2(x) / (10 + x^2) - 1
Encontre os números críticos da funçãoh(p) = (p - 1) / (p^2 + 4)