16. Prove que a função f(x) = x^101 + x^51 + x + 1 não tem nem máximo nem mínimo locais.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão queremos provar que f x não possui pontos máximos ou mínimos locais.

Parece tranquilo? 😉

Para obter os pontos máximos ou mínimo, temos que ir em busca dos pontos críticos de f .

Se derivarmos f e igualarmos a 0 , os valores de x que satisfazem a igualdade são denominados como pontos críticos.

Depois, se analisarmos a derivada de f no intervalo que contem o ponto crítico, podemos determinar se o ponto é máximo ou se é mínimo.

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

Derivando f pelo método de derivada polinomial, temos

f ' x = 101 x 101 - 1 + 51 x 51 - 1 + x 1 - 1 + 0 1

f ' x = 101 x 100 + 51 x 50 + 1

Se analisarmos f ' x , vemos que durante todo o domínio de f , f ' é positivo já que os expoentes em x são pares.

Isso nos diz que f não muda de comportamento em seu domínio, ou seja, f é crescente para todo x .

Portanto, f pode até possuir pontos críticos, mas nenhum deles serão pontos extremos.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x é crescente para todo o domínio de f .

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