UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 6.10
Prove o Teorema de Ana Lin: seja uma função contínua em e diferenciável em . Seja o único ponto crítico de nesse intervalo e suponha que a função tenha um mínimo local em . Então a função tem um mínimo global em .
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo bem?
Nessa questão precisamos provar o teorema de Ana Lin.
Mas, antes de tudo, vamos entender melhor o que ele está dizendo.
Pra começar as hipóteses, temos uma função:
Ou seja, é uma função cujo domínio é válido apenas no intervalo fechado e cujo contradomínio vai nos reais.
Além disso, ela é contínua em todo o seu domínio e diferenciável em . Ou seja, diferenciável no domínio exceto pelos extremos e .
Essa função possui apenas um ponto crítico, que ocorre em (um ponto de mínimo local).
Essas são as hipóteses do teorema. Se tudo isso for verdade, o teorema nos garante que:
É um mínimo global.
Conseguiram sacar melhor a ideia do teorema agora?
Pois então, pra prová-lo vamos tentar chegar num absurdo partindo de que existe um mínimo global em .
Passo 2
Bom, vamos supor que seja verdade que, para a função que atende todas as hipóteses comentadas no passo anterior:
Seja ponto de mínimo global.
Se ele é um ponto de mínimo global, então só temos duas possibilidades:
é ponto crítico;
2) é ponto extremo ;
A primeira possibilidade claramente é um absurdo, pois uma das hipóteses do teorema é que é o único ponto crítico.
Vamos analisar com mais calma a possibilidade , isto é, será que pode ser um ponto extremo da função?
Bom, se é ponto extremo e também um mínimo global, então:
Assim, como a nossa função é contínua, há uma parte da curva que liga esses dois pontos.
Se todos os pontos dessa curva obedecerem:
Então, teríamos um absurdo. Pois, se todos os pontos de uma das laterais de são menores do que ele, não seria um ponto crítico, muito menos um ponto de mínimo.
Assim, deve haver , tal que:
Então, entre e , a função obrigatoriamente precisaria atingir um valor máximo. Nesse caso, teríamos mais um ponto crítico em nossa função, mas uma das nossas hipóteses do teorema é que é o único ponto crítico.
Logo, também chegaríamos em um absurdo.
Sendo assim, concluímos que é um absurdo imaginar que pode existir um mínimo global em um ponto extremo.
Portanto, como nossas duas possibilidades de ponto de mínimo global foram provadas ser absurdas, concluímos que é ponto de mínimo global.
E aí galera, entenderam direitinho?
Obrigado pela atenção de todos e até a próxima 😉
Resposta
Resposta no texto.