Prove que para todo vale a seguinte desigualdade:
(Sugestão: estude o crescimento da expressão do lado esquerdo e determine o mínimo absoluto dessa expressão no intervalo dado).
Passo 1
Definimos a função:
Agora vamos achar o mínimo dela no intervalo . Pra isso vamos derivá-la e achar os seus pontos críticos:
Então no intervalo , o único ponto crítico é em .
Passo 2
Também podemos ver que:
Ou seja:
Passo 3
Vamos entender melhor como varia essa função, calculando:
Ou seja, no nosso intervalo a função primeiro vem lá do infinito, e vem descendo até , e depois ela cresce.
Daí podemos concluir que é o ponto de mínimo global da função no intervalo.
Portanto, temos:
Resposta
No intervalo o mínimo absoluto de é igual a . Logo .