Prove que para todo x > 0 vale a seguinte desigualdade:

x + 1 x ≥ 2

(Sugestão: estude o crescimento da expressão do lado esquerdo e determine o mínimo absoluto dessa expressão no intervalo dado).

Passo 1

Definimos a função:

f x = x + 1 x

Agora vamos achar o mínimo dela no intervalo 0 ,   ∞ . Pra isso vamos derivá-la e achar os seus pontos críticos:

f ' x = 1 - 1 x 2 = 0

1 x 2 = 1

x 2 = 1

⇒ x = ± 1

Então no intervalo 0 ,   ∞ , o único ponto crítico é em x = 1 .

Passo 2

Também podemos ver que: f ' x < 0 , x ∈ 0 ,   1 f ' x > 0 ,   x ∈ 1 ,   ∞

Ou seja:

f   é   d e s c r e s c e n t e , x ∈ 0 ,   1 f   é   c r e s c e n t e , x ∈ 1 ,   ∞

Passo 3

Vamos entender melhor como varia essa função, calculando:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ x + 1 x = + ∞

Ou seja, no nosso intervalo 0 ,   ∞ a função primeiro vem lá do infinito, e vem descendo até x = 1 , e depois ela cresce.

Daí podemos concluir que x = 1 é o ponto de mínimo global da função no intervalo.

Portanto, temos:

f x ≥ f 1

⇒ x + 1 x ≥ 2

Resposta

No intervalo 0 ,   ∞ , o mínimo absoluto de f x = x + 1 x é igual a f 1 = 2 . Logo f x ≥ f 1 = 2 .

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