Prove que para todo vale a seguinte desigualdade:
(Sugestão: estude o crescimento da expressão do lado esquerdo e determine o mínimo absoluto dessa expressão no intervalo dado).
Passo 1
Definimos a função:
Agora vamos achar o mínimo dela no intervalo . Pra isso vamos derivá-la e achar os seus pontos críticos:
Então no intervalo , o único ponto crítico é em .
Passo 2
Também podemos ver que:
Ou seja:
Passo 3
Vamos entender melhor como varia essa função, calculando:
Ou seja, no nosso intervalo a função primeiro vem lá do infinito, e vem descendo até , e depois ela cresce.
Daí podemos concluir que é o ponto de mínimo global da função no intervalo.
Portanto, temos:
Resposta
No intervalo o mínimo absoluto de é igual a . Logo .
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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)