UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P2 - 2015.2, Questão 1
Questão: (8 pontos) Considere a função definida no intervalo . Determine, caso exista, os seus valores máximo e mínimo globais.
Passo 1
Para encontrar os valores máximo e mínimo globais da função no intervalo , precisamos encontrar os pontos críticos onde a derivada se anula e verificar os valores da função nos extremos do intervalo. Encontrar a derivada de :
Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para encontrar a derivada:
Passo 2
Encontrar os pontos críticos:Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero e resolvemos para :
Isso nos dá ou como os possíveis pontos críticos.
Passo 3
Avaliar os valores da função nos extremos do intervalo:Agora, precisamos avaliar os valores da função nos extremos do intervalo , ou seja, em e :
Passo 4
Comparar os valores da função nos pontos críticos e nos extremos:Comparando os valores da função nos pontos críticos e nos extremos:
Assim, temos os seguintes valores:
- O valor máximo global é em e o valor mínimo global é em .
Resposta
Portanto, a função tem um valor máximo global de e um valor mínimo global de 0 no intervalo .