Questão: (8 pontos) Considere a função f(x) = x^2 * e^(-x) definida no intervalo [-1,5] . Determine, caso exista, os seus valores máximo e mínimo globais.

Passo 1

Para encontrar os valores máximo e mínimo globais da função f ( x ) = x 2 e - x no intervalo [ - 1,5 ] , precisamos encontrar os pontos críticos onde a derivada se anula e verificar os valores da função nos extremos do intervalo. Encontrar a derivada de f ( x ) :

f ( x ) = x 2 e - x

Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para encontrar a derivada:

f ' ( x ) = 2 x e - x + x 2 ⋅ - e - x = 2 x e - x - x 2 e - x

Passo 2

Encontrar os pontos críticos:Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero e resolvemos para x :

2 x e - x - x 2 e - x = 0 x ( 2 - x ) e - x = 0

Isso nos dá x = 0 ou x = 2 como os possíveis pontos críticos.

Passo 3

Avaliar os valores da função nos extremos do intervalo:Agora, precisamos avaliar os valores da função nos extremos do intervalo [ - 1,5 ] , ou seja, em x = - 1 e x = 5 : f ( - 1 ) = ( - 1 ) 2 e - ( - 1 ) = e f ( 5 ) = 5 2 e - 5 = 25 e 3

Passo 4

Comparar os valores da função nos pontos críticos e nos extremos:Comparando os valores da função nos pontos críticos e nos extremos:

2 x e - x - x 2 e - x = 0

x ( 2 - x ) e - x = 0

Assim, temos os seguintes valores:

  • E m ⁡ x = - 1 , f ( x ) = e
  • E m ⁡ x = 0 , f ( x ) = 0
  • E m ⁡ x = 2 , f ( x ) = 4 e 2
  • E m ⁡ x = 5 , f ( x ) = 25 e 5 O valor máximo global é e ( em x = - 1 ) e o valor mínimo global é 0 ( em x = 0 ) .

Resposta

Portanto, a função f ( x ) = x 2 e - x tem um valor máximo global de e e um valor mínimo global de 0 no intervalo [ - 1,5 ] .

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