UFMG; Cálculo 1; Prova 2 – 2022.1; Exercício 4
4) Se um resistor de estiver ligado a uma pilha de volts com resistência interna ohms, então a potência (em watts) no resistor externo é
Se e forem fixados, mas variar, qual é o valor máximo da potência.
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse exercício nos pede para encontrarmos a potência máxima, respeitando a função . O que isso significa? Significa que precisamos encontrar o ponto de máxima dessa função. Um método muito útil para realizarmos esse cálculo é o Critério da Primeira Derivada.
Esse critério consiste em:
Seja uma função derivável sobre um conjunto , possuindo um ponto crítico no interior de , insto é, , será ponto de máximo caso a derivada seja positiva à esquerda de e negativa à direita de .
Ou seja, faremos a derivada da função e colocaremos ela igual a . Como não temos valores, não poderemos checar as regiões à esquerda e à direita, mas poderemos considerar que esse ponto encontrado seja a potência máxima!
Então vamos nessa!
Passo 2
A partir desse passo, vamos derivar a função , utilizando como variável:
Como há uma fração, precisamos utilizar a regra do quociente:
No nosso caso:
Para calcularmos , precisamos utilizar a regra da cadeia (função composta):
Então:
Passo 3
Aplicando a regra do quociente:
Temos algumas simplificações:
Finalmente:
Passo 4
Outro fato que devemos considerar é que a Potência no resistor será máxima quando a resistência externa for igual a resistência interna, ou seja:
Vamos aplicar isso em !
Isso pode ser simplificado para:
Mais uma vez, como , a potência máxima será em:
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?