Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio . Qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais são as suas dimensões?

Bom primeiro vamos começar aplicando o teorema de Pitágoras para triângulo retângulo, assim vamos poder relacionar as dimensões do retângulo ao raio da semicircunferência .

E sabemos que a área de um retângulo é dado por:

Como nosso retângulo deve ter área máxima, logo ele deve estar posicionado no meio da semicircunferência, assim a base do retângulo será de acordo com a ilustração do passo anterior. Dessa forma, conclui-se que a área será:

Como ,

, sendo

Como estamos atrás do valor máximo da área do retângulo, vamos derivar a equação da área, uma vez que é no assunto de derivadas que vemos as ideias de máximos e mínimos de uma função.

Aplicando a regra da cadeia temos,

Agora é importante lembrar que quando temos pontos de máximos e mínimos em nossas funções as derivadas nesses pontos são iguais a 0. Portanto para a área ser máxima

Como temos certeza que o , já que . Podemos afirmar que essa equação é igual a zero apenas se o numerador for igual a zero. Logo,

Entretanto . Desse modo só poderá ser .

→ Como então,

Logo,

→ A base do retângulo é

→ E a altura do retângulo é

Agora seus linduxos, temos tudo que precisamos para calcular a área máxima, tendo em vista que já encontramos as dimensões do nosso retângulo. Sendo assim,

E aí? Espero ter te ajudado!

Bora terminar de resolver essa lista para garantir um 10 em cálculo I?!

:)