UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P1 – M. Escolha
Seja . Considere as seguintes afirmações:
A função não tem um mínimo nem um máximo local em .
A curva tem um ponto de inflexão em
não existe.
A função é crescente em .
Sobre as afirmações acima, podemos concluir que
e são verdadeiras e e são falsas.
e são verdadeiras e é falsa.
e são verdadeiras e é falsa.
e são verdadeiras e é falsa.
As quatro afirmações são verdadeiras.
Passo 1
Vem comigo que a gente detona com essa questão juntos!
A função que o enunciado nos deu é a seguinte:
Ela tem um módulo nela então, vamos escrever essa função de outra forma para tirarmos esse módulo, para isso vamos usar a definição de módulo, onde temos:
Usando isso na nossa função temos que:
Nesse problema, vamos ter que pegar a função que o enunciado nos deu e derivar ela até a segunda derivada e analisar cada afirmação e ver se é verdadeira ou falsa.
Então vamos analisar cada afirmação separadamente e ver o que podemos fazer para saber se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Vamos nessa então!
Passo 2
Começando com a afirmação .
Para saber se a função tem mínimo ou máximo em um ponto temos que derivar a função e igualar a zero e achar o ponto onde isso é verdade, depois temos que derivar a função mais uma vez e ver se a segunda derivada é positiva, negativa ou se não existe nesse ponto.
Derivando a função que reescrevemos no passo , temos:
Olhando essa derivada da função , vemos que ela só é definida para diferente , que é o único ponto que iria fazer essa função ser zero, logo não temos máximos e nem mínimos locais.
Então a afirmativa é verdadeira.
Passo 3
Agora vamos ver a . Agora temos que ver se em a gente tem um ponto de inflexão.
Para a gente conseguir ver isso, vamos derivar duas vezes, a primeira derivada a gente já fez, vamos então derivar ela mais uma vez, temos:
Olhando isso que encontramos a gente ver que a segunda derivada muda de sinal de antes para depois de , então temos um ponto de inflexão em .
A afirmativa é verdadeira.
Passo 4
Agora vamos para .
Essa afirmativa diz que não existe. A gente já calculou no passo anterior, ela tem essa cara aqui:
Ela não é definida em , então ela não existe nesse ponto, então a afirmativa está certa.
Passo 5
Vamos para a última afirmação, .
Ela diz que a função é crescente em , para saber se isso é verdade, temos que avaliar o sinal da derivada de nesse intervalo, se ela for positiva em todo esse intervalo a função vai ser crescente.
A derivada de a gente já calculou, temos:
No intervalo de é dada por e como ela tem esse sinal fora do parênteses, ela faz todos valores que seriam negativos dentro parênteses ficarem positivos.
No intervalo é dada por como estamos em um intervalo onde todos os possíveis são maiores que o termo dentro do parênteses sempre vai ser positivo.
Então a derivada de é sempre positiva, logo é sempre crescente em . A afirmativa está certa.
Então a única opção que tem para a gente marcar é a letra .
Resposta
As quatro afirmações são verdadeiras.