USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 1.6a
1.6. Seja . Determine o máximo e o mínimo de em:
a. ;
Passo 1
Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉
Nesse problema temos que obter o máximo e mínimo da função restrito à curva .
Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔
Quando temos que calcular os máximos e mínimos de uma função com alguma restrição é quase certo que temos que aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Dada uma função e uma restrição , podemos dizer que
Assim, obtendo o valor de podemos encontrar uma maneira de obter e .
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Calculando o gradiente de
Agora o gradiente de
Aplicando à fórmula
Isolando e igualando as duas primeiras equações
Igualando a segunda com a terceira e aplicando essa igualdade que encontramos
Substituindo essas informações na equação de restrição...
Assim encontramos dois pontos: e
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Isolando na equação de restrição e substituindo em ...
Substituindo em
Dessa forma, como e , então
Assim, encontramos mais dois pontos...
e
Estamos quase lá! 😬
Passo 4
Obtendo o valor de nos pontos que encontramos, podemos compará-los e verificar qual é máximo e qual é mínimo.
Para
Para
Para
Por último, para
Portanto o ponto máximo é em e o ponto mínimo é e .
Pegou o esquema? Responde Aí! 😁
Resposta
O ponto máximo é em e o ponto mínimo é e .