UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P3 – M.Escolha
Seja . Considere as seguintes afirmações:
A curva não tem assíntotas verticais.
A função tem um máximo local, mas não tem um mínimo local.
A função tem um mínimo local, mas não tem um máximo local.
O gráfico é côncavo para baixo.
O gráfico de tem um único ponto de inflexão.
A respeito das afirmações acima, podemos concluir que
e são verdadeiras, e são falsas.
e são verdadeiras e e são falsas.
e são verdadeiras e e são falsas.
e são verdadeiras e e são falsas.
e são verdadeiras e e são falsas.
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve essa juntos!
Para uma função ter assíntota vertical o limite dessa função em ponto que faz a função divergi vai para o infinito.
Para sabermos se uma função tem máximos ou mínimos locais temos que primeiro ver se a derivada dessa função zera em algum ponto .
Caso isso aconteça a gente calcula a segunda derivada da função e avalia o valor dela nesses pontos e ver se ela é negativa é um ponto de máximo e se ela for positiva é um ponto de mínimo.
E se a função é concava para baixo e se a função é concava para cima.
Passo 2
Vamos começar com a afirmação .
Vamos fazer o seguinte limite:
Quando fazemos tender a zero pela direita esse limite vai para , logo a função tem uma assíntota vertical.
Então a é falsa.
Passo 3
Agora vamos para .
Vamos derivar , temos:
Agora vamos igualar a zero, assim:
Agora vamos derivar , assim:
Agora vamos fazer , assim:
Assim:
Então como a segunda deriva é negativa, temos um ponto de máximo em
E como só temos que faz a primeira derivada zerar, então só temos esse pico de máximo e nenhum outro pico de máximo ou mínimo.
A afirmação é verdadeira.
Passo 4
Agora vamos para .
Essa afirmação é falsa, pelo fato de só termos um ponto de máximo na função e nenhum de mínimo.
Passo 5
Vamos ver a afirmação .
Como só temos um ponto de máximo a função é concava para baixo, então a firmação é verdadeira.
Passo 6
Por último vamos ver a .
Essa afirmação é falsa pelo fato da ser verdadeira, como a função só é côncavo para baixo ela em nenhum momento é côncava para cima, logo não temos pontos de inflexão em .
Então as únicas que são verdadeiras são e .
Então nossa escolha vai ser a letra .
Resposta
e são verdadeiras e e são falsas.