Seja f x definida em I R , cuja derivada f ' x tem o seguinte gráfico:

Determine:

(a) Todos os pontos críticos de f ( x )

(b) Os intervalos onde f ( x ) é crescente e onde f ( x ) é decrescente. Justifique

(c) Todos os pontos de máximo e mínimo local de f ( x ) . Justifique

(d) Todos os pontos de inflexão de f ( x ) . Justifique

Passo 1

(a) Obter todos os pontos críticos de f x

Antes de mais nada, vamos refrescar a memória: pontos críticos são pontos em que o teste da primeira derivada da 0. Show de bola, então agente só precisa ver quais valores de x satisfazem:

f ' x = 0

Porque serão os valores de x em que a inclinação da reta tangente é 0 . Como o gráfico do enunciado é da própria f ' x , basta ver as raízes, que vão ser:

r a í z e s =   x = - 1 x = 2 x = 4

Portanto, vão ser pontos críticos:

P o n t o s   c r í t i c o s =   - 1 , f - 1 2 , f 2 4 , f 4  

Passo 2

(b) Obter os intervalos onde f ( x ) é crescente e onde f ( x ) é decrescente, justificando.

Caraca agora complicou. Como eu vou saber isso se não tenho a função f x ? Relaxa, fica calmo que a gente já tem tudo pra poder descobrir. A derivada não da a inclinação da reta tangente? Então saca só:

f ' x > 0 → I n c l i n a ç ã o   p o s i t i v a → f x = c r e s c e n t e

f ' x < 0 → I n c l i n a ç ã o   n e g a t i v a → f x = d e c r e s c e n t e

Show de bola, agora é só olharmos pro gráfico da f ' x e ver os intervalos em que f ' x > 0 e que f ' x < 0 . Partiu então:

f x = c r e s c e n t e →   - 1 ≤ x ≤ 2  

f x = d e c r e s c e n t e →   x < - 1 x > 2

Passo 3

(c e d) Obter todos os pontos de máximo e mínimo local, além dos pontos de inflexão de f x , justificando.

Beleza, já sabemos os pontos críticos, não é mesmo? E pontos de máximo e de mínimo são pontos críticos.

Mas pera, então a resposta da letra (a) e da letra (c) são iguais? Não tão rápido meu amigo, da uma olhada aqui:

Temos uma pegadinha! Será mesmo que x = 4 é um ponto crítico? Vamos testar então. Seja δ = 1 , por exemplo, temos:

f ' 4 = 0

f ' 5 < 0

f ' 3 < 0

Opa, apesar de nesse ponto a inclinação da reta tangente ser nula, em x = 4 não temos nem pontos de máximo nem pontos de mínimo. O que vai acontecer é que nesse ponto, teremos uma inflexão! A função vai ser decrescente tanto antes quanto depois de x = 4 mas em x = 4 mesmo a reta tangente é horizontal. Ficou confuso? Da uma olhada então num gráfico com uma situação semelhante:

Então sobraram os pontos com x = - 1 e x = 2 . Partiu então ver quem é de máximo e quem é de mínimo:

f ' - 1 = 0

f ' - 2 < 0

f ' 0 > 0

P o n t o   d e   M í n i m o

E por fim:

f ' 2 = 0

f ' 1 > 0

f ' 3 < 0

P o n t o   d e   M á x i m o

Agora, será que esses vã oser os únicos pontos de inflexão? Veja bem, pontos de inflexão são aqueles que fazem:

f ' ' x = 0

Oras, então se acharmos uma reta tangente com inclinação nula no gráfico do enunciado, que é de f ' x , vamos achar pontos de inflexão! E temos sim três pontos em que isso é verdade:

x = - 2

x = 1

x = 3

Agora sim fechamos a questão!

Resposta

(a) P o n t o s   c r í t i c o s =   - 1 , f - 1 2 , f 2 4 , f 4  

(b) f x = c r e s c e n t e →   - 1 ≤ x ≤ 2 f x = d e c r e s c e n t e →   x < - 1 x > 2  

(c) P o n t o s   d e   m á x i m o →   2 , f 2 P o n t o s   d e   m í n i m o →   - 1 , f - 1

(d) P o n t o s   d e   i n f l e x ã o →   4 , f 4 - 2 , f - 2 1 , f 1 3 , f 3

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