USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.42
Seja derivável e com um único ponto crítico . Prove que se for ponto de mínimo (máximo) local de , então será o único ponto de mínimo(máximo) global de .
Passo 1
Fala aí gente, tudo bem?
Nessa questão precisamos provar a seguinte afirmação:
- Hipóteses da afirmação:
é derivável e possui um único ponto crítico
é ponto de mínimo (máximo) local de
- Conclusão:
Então é o único ponto de mínimo (máximo) global de
Então pessoal, quando afirmamos que é um ponto crítico de , significa dizer que:
Se é ponto de mínimo local de , é porque existe um intervalo tal que:
Onde:
Para ser ponto de mínimo (máximo) global, precisamos que em todo o domínio de , ou seja, nos reais, valha que:
Massa! Sabendo disso, vamos tentar resolver o exercício provando por absurdo.
Vem comigo 😉
Passo 2
Vamos imaginar que a condição dada no enunciado é falsa, ou seja, que existe um outro ponto de mínimo (máximo) de .
Vamos dividir em dois casos:
Esse ponto está entre e :
Se isso for verdade, então:
E, assim não seria mínimo local, como garantido no enunciado.
Portanto, esse primeiro caso é falso.
Esse ponto está fora de e :
Se é ponto de mínimo local em um intervalo fora de , então ele é um ponto crítico e temos:
Mas, segundo o enunciado, o único ponto crítico dado é .
Portanto essa suposição é falsa também.
Logo, concluímos que também é ponto de mínimo (máximo) global de .
E aí, sacaram a ideia?
Responde Aí!
Resposta
Resposta no texto.