Seja f : R → R derivável e com um único ponto crítico x 0 . Prove que se x 0 for ponto de mínimo (máximo) local de f , então x 0 será o único ponto de mínimo(máximo) global de f .

Passo 1

Fala aí gente, tudo bem?

Nessa questão precisamos provar a seguinte afirmação:

- Hipóteses da afirmação:

1 )   f : R → R é derivável e possui um único ponto crítico x 0 .

2 ) x 0 é ponto de mínimo (máximo) local de f

- Conclusão:

Então x 0 é o único ponto de mínimo (máximo) global de f

Então pessoal, quando afirmamos que x 0 é um ponto crítico de f , significa dizer que:

f ' x 0 = 0

Se x 0 é ponto de mínimo local de f , é porque existe um intervalo ( a , b ) tal que:

a ≤ x 0 ≤ b

Onde:

f x 0 < f x ,     ∀ x ∈ a , b - { x 0 }

Para x 0 ser ponto de mínimo (máximo) global, precisamos que em todo o domínio de f , ou seja, nos reais, valha que:

f x 0 < f x ,     ∀ x ≠ x 0

Massa! Sabendo disso, vamos tentar resolver o exercício provando por absurdo.

Vem comigo 😉

Passo 2

Vamos imaginar que a condição dada no enunciado é falsa, ou seja, que existe um outro ponto de mínimo (máximo) de f .

Vamos dividir em dois casos:

1 ) Esse ponto x 1 está entre a e b :

Se isso for verdade, então:

f x 1 < f ( x 0 )

E, assim x 0 não seria mínimo local, como garantido no enunciado.

Portanto, esse primeiro caso é falso.

2 ) Esse ponto x 1 está fora de a e b :

Se x 1 é ponto de mínimo local em um intervalo fora de ( a , b ) , então ele é um ponto crítico e temos:

f ' x 1 = 0

Mas, segundo o enunciado, o único ponto crítico dado é x 0 .

Portanto essa suposição é falsa também.

Logo, concluímos que x 0 também é ponto de mínimo (máximo) global de f .

E aí, sacaram a ideia?

Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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