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Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 1.6d

1.6. Seja f x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 z . Determine o máximo e o mínimo de f em:

d. x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4   e   z ≥ 1 2 ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter o máximo e mínimo da função f x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 z restrito à curva x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 e a z ≥ 1 2 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando temos que calcular os máximos e mínimos de uma função com alguma restrição é quase certo que temos que aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Dada uma função f e uma restrição g , podemos dizer que

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

Assim, obtendo o valor de λ podemos encontrar uma maneira de obter x , y e z .

Como a restrição é apenas para z ≥ 1 2 , os pontos que encontrarmos com z < 1 2 podemos excluí-los.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o gradiente de f

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 z ∂ x , ∂ x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 z ∂ y , ∂ x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 z ∂ z

∇ f = 2 x - 4 y , 2 y - 4 x , 4 z - 4

Para obter os pontos internos a x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 obtemos os pontos críticos de f e verificamos se eles satisfazem a inequação.

2 x - 4 y , 2 y - 4 x , 4 z - 4 = 0,0 , 0

2 x - 4 y = 0 2 y - 4 x = 0 4 z - 4 = 0 → x = 2 y y = 2 x z = 1

A partir desse sistema, podemos obter um ponto P 0 = 0,0 , 1 , mas como z < 1 2 , podemos descartá-lo

Agora o gradiente de g

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 4 ∂ x , ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 4 ∂ y , ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 4 ∂ z

∇ g = 2 x , 2 y , 2 z

Aplicando à fórmula ∇ f x , y = λ ∇ g x , y

2 x - 4 y , 2 y - 4 x , 4 z - 4 = λ 2 x , 2 y , 2 z

2 x - 4 y = λ 2 x 2 y - 4 x = λ 2 y 4 z - 4 = λ 2 z → x - 2 y = λ x y - 2 x = λ y 2 z - 2 = λ z

Isolando λ e igualando as duas primeiras equações

λ = x - 2 y x λ = y - 2 x y λ = 2 z - 2 z

x - 2 y x = y - 2 x y

x - 2 y y = y - 2 x x

x y - 2 y 2 = x y - 2 x 2

x = y

Igualando a segunda com a terceira e aplicando essa igualdade que encontramos

y - 2 y y = 2 z - 2 z → - 1 = 2 z - 2 z

2 z - 2 = - z

z = 2 3

Substituindo essas informações na equação de restrição...

x 2 + y 2 + z 2 = 4 → x 2 + x 2 + 2 3 2 = 4

2 x 2 = 4 - 4 9

x 2 = 16 9

x = ± 4 3

Assim encontramos dois pontos: P 1 = 4 3 , 4 3 , 2 3 e P 2 = - 4 3 , - 4 3 , 2 3

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Isolando z na equação de restrição e substituindo em f ...

x 2 + y 2 + z 2 = 4 → z = ± 4 - x 2 + y 2

Substituindo em f

f x , y = x 2 + y 2 + 2 4 - x 2 + y 2 2 - 4 x y - 4 4 - x 2 + y 2

f x , y = 2 x 2 + 2 4 - 2 x 2 - 4 x 2 - 4 4 - 2 x 2

f x , y = 8 - 6 x 2 - 4 4 - 2 x 2

f x = - 12 x - 8 x 4 - 2 x 2 = 0

x = 0

Dessa forma, como z = ± 4 - x 2 + y 2 e x = y , então

z = ± 4 - 2 x 2 = ± 2

Assim, encontramos mais um ponto...

P 3 = 0,0 , 2

Tudo certo até aqui? 😬

Passo 4

Além desses pontos, temos que analisar na borda da restrição, ou seja, fixando z = 1 2 .

Recalculando os gradientes fazendo z = 1 2 , temos

Para f x , y = x 2 + y 2 + 2 1 2 2 - 4 x y - 4 1 2 = x 2 + y 2 - 4 x y - 3 2

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ∂ x 2 + y 2 - 4 x y - 3 2 ∂ x , ∂ x 2 + y 2 - 4 x y - 3 2 ∂ y

∇ f = 2 x - 4 y , 2 y - 4 x

Para g :   x 2 + y 2 + 1 2 2 = 4 → g : x 2 + y 2 = 15 4

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y = ∂ x 2 + y 2 - 15 4 ∂ x , ∂ x 2 + y 2 - 15 4 ∂ y

∇ g = 2 x , 2 y

Aplicando à fórmula ∇ f x , y = λ ∇ g x , y

2 x - 4 y , 2 y - 4 x = λ 2 x , 2 y

Já vimos isso antes... sabemos que essa equação resulta em

x = y

Substituindo essa igualdade em g , temos

2 x 2 = 15 4 → x = ± 15 2 2

Portanto, obtemos mais quatro pontos a se analisar...

P 4 = 15 2 2 , 15 2 2 , 1 2 , P 5 = - 15 2 2 , - 15 2 2 , 1 2 , P 6 = - 15 2 2 , 15 2 2 , 1 2 e P 7 = 15 2 2 , - 15 2 2 , 1 2

Estamos quase lá! 😬

Passo 5

Obtendo o valor de f nos pontos que encontramos, podemos compará-los e verificar qual é máximo e qual é mínimo.

f x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 z

Para P 1 = 4 3 , 4 3 , 2 3

f P 1 = 4 3 2 + 4 3 2 + 2 2 3 2 - 4 4 3 4 3 - 4 2 3 = - 16 3

Para P 2 = - 4 3 , - 4 3 , 2 3

f P 2 = - 4 3 2 + - 4 3 2 + 2 2 3 2 - 4 - 4 3 - 4 3 - 4 2 3 = - 16 3

Para P 3 = 0,0 , 2

f P 3 = 0 2 + 0 2 + 2 2 2 - 4 0 0 - 4 2 = 0

Para P 4 = 15 2 2 , 15 2 2 , 1 2

f P 4 = 15 2 2 2 + 15 2 2 2 + 2 1 2 2 - 4 15 2 2 15 2 2 - 4 1 2 = - 193 16

Para P 5 = - 15 2 2 , - 15 2 2 , 1 2

f P 5 = - 15 2 2 2 + - 15 2 2 2 + 2 1 2 2 - 4 - 15 2 2 - 15 2 2 - 4 1 2 = - 193 16

Para P 6 = - 15 2 2 , 15 2 2 , 1 2

f P 6 = - 15 2 2 2 + 15 2 2 2 + 2 1 2 2 - 4 - 15 2 2 15 2 2 - 4 1 2 = 257 16

Para P 7 = 15 2 2 , - 15 2 2 , 1 2

f P 7 = 15 2 2 2 + - 15 2 2 2 + 2 1 2 2 - 4 15 2 2 - 15 2 2 - 4 1 2 = 257 16

Portanto os pontos máximos são P 6 = - 15 2 2 , 15 2 2 , 1 2 e P 7 = 15 2 2 , - 15 2 2 , 1 2 e os pontos mínimos são P 4 = 15 2 2 , 15 2 2 , 1 2 e P 5 = - 15 2 2 , - 15 2 2 , 1 2 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! ���� Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Os pontos máximos são P 6 = - 15 2 2 , 15 2 2 , 1 2 e P 7 = 15 2 2 , - 15 2 2 , 1 2 e os pontos mínimos são P 4 = 15 2 2 , 15 2 2 , 1 2 e P 5 = - 15 2 2 , - 15 2 2 , 1 2

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