Seja f x = x 3 - 3 x 2 + 3

  1. Encontre, caso exista, os máximos e mínimos (local e absoluto) de f.
  2. Determine os valores máximos e mínimo de f em [ - 2,3 ] . Em que pontos esses valores são atingidos?

Passo 1

E ai camaradinhas, bora resolver essa comigo?

Para encontrar os máximos e mínimos (locais e absolutos) da função f x = x 3 - 3 x 2 + 3 primeiro precisamos encontrar os pontos críticos dela. Os pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é igual a zero ou não existe.

Primeiro, calcule a derivada de f ( x )

f ' x = 3 x 2 - 6 x

Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando f ' ( x ) a zero e resolvendo para x :

3 x 2 - 6 x = 0

Podemos fatorar isso:

3 x ( x   -   2 )   =   0  

Isso nos dá duas soluções:

  x   =   0  

  x   =   2  

Passo 2

Agora que temos os valores de x   nos quais a derivada é igual a zero, podemos encontrar os correspondentes valores de f ( x ) para determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Vamos usar o teste da segunda derivada para isso.

Calcule a segunda derivada de f ( x )

  f ' ' ( x )   =   6 x   -   6  

Agora, avalie f ' ' ( x ) nos pontos críticos que encontramos (0 e 2):

Para x = 0

f ' ' ( 0 )   =   6 ( 0 )   -   6   =   - 6  

Para x = 2

  f ' ' ( 2 )   =   6 ( 2 )   -   6   =   6  

Passo 3

Agora, vamos interpretar os resultados:

1. Para x = 0 ,   f ' ' ( x ) é negativo, o que significa que temos um máximo local em x = 0 .

2. Para x = 2 ,   f ' ' x é positivo, o que significa que temos um mínimo local em x = 2

Agora, vamos calcular os valores correspondentes de f x esses pontos:

Para x = 0

  f 0 =   0 3 - 0 2 +   3   =   3

Para x = 2

f ( 2 )   =   2 3 -   3 2 2 +   3   =   - 1

Portanto, temos os seguintes resultados:

- Máximo local em x = 0   com f 0 = 3

- Mínimo local em x = 2   com f 2 = - 1

Resposta

- Máximo local em x = 0   com f 0 = 3

- Mínimo local em x = 2   com f 2 = - 1

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