Seja y_m(x) = m * x + b , com m ≠ 0 , a equação de uma reta que passa pelo ponto (2,3).

d) explique porque somente a teoria desenvolvida até agora não nos permite concluir que A tem um ponto de mínimo

e) verifique que a função tende para infinito quando m → -∞ ou m → 0^(-1)

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Obtivemos no item anterior que:

A m = - 2 m - 3 2 2 m

E dizer que ela tem um ponto de mínimo significa dizer quando derivando e igualando a 0, existe algum ponto de m nos reais negativo que satisfaça essa equação

Parece confuso hashuashua, mas segue junto que vamos ver isso na prática.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Dito isso, derivando a função A m :

d A m d m = d d x - 2 m - 3 2 2 m

- 4 m 2 + 9 2 m 2

Se igualarmos a 0:

- 4 m 2 + 9 = 0

m 2 = 9 4 → m = 9 4

Mas nos foi dado no item b que m < 0 , mas do outro lado temos uma raiz quadrada, e sabemos que de raiz quadrada com valores reais só podemos extrair valor positivos, logo é impossível que haja um m

Passo 3

Para e)

Primeiro para quando m → - ∞

Aplicando o limite:

lim m → - ∞ ⁡ - 2 m - 3 2 2 m

Façamos u = 2 m - 3 → 2 m = u + 3 e quando m → - ∞ , u = - ∞ , assim ficando:

lim u → - ∞ ⁡ - u 2 u + 3

Dividindo por u em cima em baixo:

lim u → - ∞ - ⁡ u 1 + 3 u

Por lógica, se um número pequeno é divido por um infinitamente maior, então chega a ser quase 0, assim em comparação de 1 + 3 u ≈ 1

Assim ficando:

lim u → - ∞ ⁡ - u 1 = ∞                   c . q . d

A título de curiosidade: c.q.d (como queríamos demonstrar)

Para m → 0 -

lim m → 0 - ⁡ - 2 m - 3 2 2 m

lim m → 0 - ⁡ - 4 m 2 + 12 m - 9 2 m

lim m → 0 - ⁡ 2 m + 6 - 9 2 m

Em comparação, se um numero é divido por um muito próximo de 0, ele será muito grande e tenderá pra infinito, concorda.

Além disso, se sele for muito grande, números comuns como 6 adicionados à ele não fazer cocegas. O que são 6 em 12 bilhões? Pois então.

E por ultimo a multiplicação, por maior que seja, se for por um numero pequeno próximo de 0 ela ainda será muito pequena, próxima de 0 também.

Assim:

lim m → 0 - ⁡ 2 m + 6 - 9 2 m = ∞             c . q . d

Resposta

d) provado no passo 2

e) provado no passo 3

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