UFRJ – Cálculo 1 – 2020.2 – P2 – M. Escolha
Seja uma função sobre a qual sabe-se apenas que é duas vezes diferenciável e
Considere as seguintes afirmações:
necessariamente é um valor de mínimo local.
necessariamente é um valor de mínimo global.
necessariamente é um ponto de inflexão.
necessariamente é um valor de mínimo local.
As afirmações e são verdadeiras
As afirmações e são verdadeiras
As afirmações e são verdadeiras
A afirmação é verdadeira
A afirmação é verdadeira
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve detona essa questão juntos!
Para sabermos se uma função tem máximos ou mínimos locais temos que primeiro ver se a derivada dessa função zera em algum ponto .
Caso isso aconteça a gente calcula a segunda derivada da função e avalia o valor dela nesses pontos e ver se ela é negativa é um ponto de máximo e se ela for positiva é um ponto de mínimo.
Caso a derivada função não zere em nenhum ponto essa função não tem valores de máximo nem de mínimo.
Vamos as contas!
Passo 2
Vamos começar com a primeira afirmação, para saber se é valor de mínimo global, temos que ver se e depois ver se .
A primeira derivada já temos, assim:
Agora vamos achar a segunda derivada, temos que:
Então temos que:
Avaliando em , temos:
Então é ponto de mínimo local.
Passo 3
Agora vamos avaliar a segunda afirmação.
Ela diz que o ponto é um mínimo global, mas para isso acontecer teríamos que ter , mas já vimos que ele é um valor de mínimo local, logo essa afirmação é falsa.
Passo 4
Vamos ver a terceira afirmação.
Ela diz que o ponto é um ponto de inflexão. Vem comigo analisar uma coisa, temos que a primeira derivada é dada por:
Ela é igual a zero para e para , nós já vimos que para temos um ponto de mínimo (concavidade para cima), vamos ver o que temos para .
Então é ponto de máximo (concavidade para baixo).
Então aconteceu uma mudança de concavidade no caminho de até , então tem que ter um ponto de inflexão nesse intervalo.
Para achar esse cara podemos achar o ponto em que a primeira derivada é máxima e isso acontece quando a segunda derivada é igual a zero, então:
Então é máxima em , então nosso ponto de inflexão ocorre em .
A afirmação é verdadeira.
Passo 5
A última afirmação diz que é valor de mínimo local, mas a gente já viu que a primeira derivada só zera nos pontos ou , então não tem como ter um mínimo local em e que seja ponto de mínimo.
Essa afirmação é falsa.
Então as únicas afirmações corretas são a e , então a letra é a nossa escolhida.
Resposta
As afirmações e são verdadeiras