Seja α um número real e

f x = x 3 + 15 x 2 - 117 x + α e 5 x - 9

Sabe-se que o gráfico da função y = f ( x ) tem um mínimo local no ponto P p x 0 o , 0 . Op valor de α é:

a )   172

b )   189

c )   194

d ) 178

e )   196

Passo 1

Opa galera, aqui é uma questão de cálculo diferencial onde nós temos uma função f , dada por:

f x = x 3 + 15 x 2 - 117 x + α e 5 x - 9  

qualquer que está definida ao longo de um certo domínio onde o foco da questão é encontrar um valor para o parâmetro α para que o ponto ( x 0 , 0 ) seja um mínimo para a função.

Um problema de mínimo e máximo de funções nós resolvemos utilizando um assunto do calculo diferencial e integral que é chamado de derivadas e para resolver o probleminha precisamos lembrar de uns certos detalhezinhos sobre as derivadas de primeira ordem de uma função e pontos críticos. Mas eis a pergunta, você se lembra?

CAAAAAAAAAALMINHA, não precisa se preocupar vamos lembrar desse conceito bem importante aqui, o conceito físico sobre as derivadas de primeira ordem fala o seguinte.

Um ponto crítico é um possível candidato para ser um mínimo, um máximo ou um ponto cela de uma determinada função. Para encontrar esses candidatos utilizamos um conceito de derivadas.

O conceito é o seguinte:

f ' x = 0 , x é um ponto críitico da função

Basicamente, um ponto de máximo ou de mínimo (como no caso da nossa questão) é caracterizado por ter derivada nula. Ou seja, se x 0 é um ponto de mínimo, então vale que:

f ' x 0 = 0

Ok,ok né? Como isso me ajuda a resolver a questão?

Bem, aqui nós temos 2 variáveis que é α e o x 0 , logo precisamos de duas equações para resolver o probleminha. Isso não é fantástico?

Mas de onde vem essas equações né?

Uma já vem do enunciado pois ele fala que quando x = x 0 temos que f ( x 0 ) . Já a outra equação vem da condição de estabilidade do ponto crítico que é f ' x 0 = 0 . Com isso temos duas equações e duas variáveis.

Preparado para começar a matemática? Então vamos láá´.

Passo 2

Para um primeiro passo, vamos para o mais prático que é substituir x 0 na função do problema gerando a seguinte equação:

0 = x 0 3 + 15 x 0 2 - 117 x 0 + α e 5 x 0 - 9

Aqui precisamos de uma sacadinha. A função exponencial ela nunca zera, apenas em alguns casos no limite então o que deve levar a função para 0 é o polinômio gerando a seguinte equação:

x 0 3 + 15 x 0 2 - 117 x 0 + α = 0

Já a segunda equação exige um trabalho a mais, precisamos derivar função e utilizar a regra da cadeia. Pois temos o produto de uma função exponencial e um polinômio, a derivada nos fornece a seguinte função:

d d x f x = e 5 x - 9 ( 5 x 3 + 78 x 2 - 555 x - 117 + 5 α )

Aplicando a função derivada no ponto x 0 e utilizando o mesmo raciocínio do caso anterior temos que:

5 x 3 + 78 x 2 - 555 x - 117 + 5 α = 0

Sendo assim, temos o seguinte problema de duas equações e duas variáveis.

x 0 3 + 78 x 0 2 - 555 x 0 - 117 + 5 α = 0 x 0 3 + 15 x 0 2 - 117 x 0 + α = 0

Isolando α na segunda equação e obtendo a seguinte expressão:

- x 0 3 + 15 x 0 2 - 117 x 0 = α

Substituindo essa expressão na equação 1 e após realização de diversas operações matemáticas a fim de remover a dependência de α , chegamos na seguinte equação:

3 x 0 2 + 30 x 0 - 117 = 0

Passo 3

Agora precisamos encontrar o valor de x 0 para que possamos encontrar posteriormente o valor de α . Para isso vamos utilizar a fórmula de Bhaskara.

x 0 = - 30 ± 30 2 - 4 * 3 * - 117 2 * 3

Gerando as seguintes soluções

x 0,1 = - 13

x 0,2 = 3

Utilizando esses valores, podemos obter os seguintes valores de α .

α 1 =   189 α 2 =   - 1859

Aeee, conseguimos. Valeeu pessoal, espero vocês na próxima 😊

Resposta

A resposta final é a alternativa b )

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)