UFMG - P3 - Cáalculo 1- 2020.1-Q3
Seja um número real e
Sabe-se que o gráfico da função tem um mínimo local no ponto Op valor de é:
Passo 1
Opa galera, aqui é uma questão de cálculo diferencial onde nós temos uma função , dada por:
qualquer que está definida ao longo de um certo domínio onde o foco da questão é encontrar um valor para o parâmetro para que o ponto seja um mínimo para a função.
Um problema de mínimo e máximo de funções nós resolvemos utilizando um assunto do calculo diferencial e integral que é chamado de derivadas e para resolver o probleminha precisamos lembrar de uns certos detalhezinhos sobre as derivadas de primeira ordem de uma função e pontos críticos. Mas eis a pergunta, você se lembra?
CAAAAAAAAAALMINHA, não precisa se preocupar vamos lembrar desse conceito bem importante aqui, o conceito físico sobre as derivadas de primeira ordem fala o seguinte.
Um ponto crítico é um possível candidato para ser um mínimo, um máximo ou um ponto cela de uma determinada função. Para encontrar esses candidatos utilizamos um conceito de derivadas.
O conceito é o seguinte:
é um ponto críitico da função
Basicamente, um ponto de máximo ou de mínimo (como no caso da nossa questão) é caracterizado por ter derivada nula. Ou seja, se é um ponto de mínimo, então vale que:
Ok,ok né? Como isso me ajuda a resolver a questão?
Bem, aqui nós temos 2 variáveis que é e o , logo precisamos de duas equações para resolver o probleminha. Isso não é fantástico?
Mas de onde vem essas equações né?
Uma já vem do enunciado pois ele fala que quando temos que . Já a outra equação vem da condição de estabilidade do ponto crítico que é . Com isso temos duas equações e duas variáveis.
Preparado para começar a matemática? Então vamos láá´.
Passo 2
Para um primeiro passo, vamos para o mais prático que é substituir na função do problema gerando a seguinte equação:
Aqui precisamos de uma sacadinha. A função exponencial ela nunca zera, apenas em alguns casos no limite então o que deve levar a função para é o polinômio gerando a seguinte equação:
Já a segunda equação exige um trabalho a mais, precisamos derivar função e utilizar a regra da cadeia. Pois temos o produto de uma função exponencial e um polinômio, a derivada nos fornece a seguinte função:
Aplicando a função derivada no ponto e utilizando o mesmo raciocínio do caso anterior temos que:
Sendo assim, temos o seguinte problema de duas equações e duas variáveis.
Isolando na segunda equação e obtendo a seguinte expressão:
Substituindo essa expressão na equação 1 e após realização de diversas operações matemáticas a fim de remover a dependência de , chegamos na seguinte equação:
Passo 3
Agora precisamos encontrar o valor de para que possamos encontrar posteriormente o valor de . Para isso vamos utilizar a fórmula de Bhaskara.
Gerando as seguintes soluções
Utilizando esses valores, podemos obter os seguintes valores de .
Aeee, conseguimos. Valeeu pessoal, espero vocês na próxima 😊
Resposta
A resposta final é a alternativa