UFRJ. Cálculo 2. 2C. 2022.1. Questão 2.
Seja .
(a) Podemos garantir que a função possui máximo absoluto e mínimo absoluto em ? Justifique.
(b) Determine o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto de em , se possível. Justifique.
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão, temos uma função .
No item a) temos que verificar se dentro do espaço , onde , existe um ponto máximo e ponto mínimo absoluto.
Já no item b) temos que determinar o valor máximo e o valor mínimo dentro do espaço .
Antes de tudo, podemos manipular a função de modo que fique com a cara de algo mais conhecido por nós.
Com isso, conseguimos ver que esta função descreve uma espécie de paraboloide com as bordas levemente achatadas.
Se fossemos observar as curvas de níveis para esta função, íamos ver elipses.
Mas então! Como vamos calcular os itens a) e b)? 🤔
Bora começar nossos cálculos! 😁
Passo 2
Vamos analisar a imagem de para ver se existe alguma chance da função possuir máximo ou mínimo dentro de .
Como nossa função é um paraboloide em que e são positivos, logo ele é voltado para cima.
Em um paraboloide voltado para cima, o seu ponto mínimo é o seu centro e conforme e aumentam, tende ao infinito.
Analisando a função, vemos que o centro do paraboloide está em
Logo nesse ponto, o valor de é dado como
Ou seja, apenas analisando a função descobrimos que seu ponto mínimo é dado em e tem valor .
Como a região é um cilindro de raio e centrado na origem, logo o ponto está contido dentro de .
E como um paraboloide voltado para cima tende ao infinito, ele não possui máximo global.
Ou seja, a região possui um mínimo global, mas não possui um máximo global!
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
No item b) vamos obter o máximo valor e o mínimo valor de dentro da região .
O menor ponto já encontramos, que é justamente o mínimo global de . Agora queremos descobrir o maior valor que assume dentro de .
Pra isso, substituímos em e calculamos os pontos críticos normalmente.
Como nosso paraboloide não é muito doido do tipo de subir e descer, então podemos considerar apenas as bordas de , já que quanto mais longe de , mais cresce.
Isolando em e substituindo em , temos
Assim, vamos ter uma função de uma única variável
Agora derivamos essa função e igualamos a .
Pelo método de derivação polinomial, temos
Igualando a
Encontramos uma coordenada que assume seu maior valor em . !
Agora vamos obter a coordenada em .
Passo 4
Substituindo em , vamos obter
Como está ao quadrado, temos que considerar como positivo e como negativo.
Dessa forma, encontramos duas possibilidades para .
Logo os pontos críticos serão as combinações das coordenadas que encontramos.
Por fim, substituímos essas coordenadas em para obter o maior ponto
Para
Agora para
Obtemos os mesmos valores para e .
Logo o ponto mínimo em é o ponto e os pontos máximos são e .
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
a) possui um ponto mínimo global em , .
b) Os pontos máximos em são e onde em ambos .