P3-Calculo 1- 2020.1-Q4
Seja com e possui mínimo local no ponto e máximo local em O valor de
Passo 1
Opa galera, aqui é uma questão de cálculo diferencial onde nós temos uma função qualquer que está definida ao longo de um certo domínio onde o foco da questão é encontrar um valor da função quando
Ou seja, preciso encontrar o valor do parâmetro na função, mas como faço isso?
Para encontrar todos os parâmetros da função vamos utilizar os conceitos de máximo e mínimo, conceitos esses que estão altamente correlacionados com outro conceito que é o de derivadas.
Para solucionar esse problema nós precisaremos utilizar um assunto do calculo diferencial e integral que é chamado de derivadas e para resolver o probleminha precisamos lembrar de uns certos detalhezinhos sobre as derivadas de uma função e pontos críticos. Mas eis a pergunta, você se lembra?
CAAAAAAAAAALMINHA, não precisa se preocupar vamos lembrar desse conceito bem importante aqui, o conceito físico sobre as derivadas de primeira ordem fala o seguinte.
Um ponto crítico é um possível candidato para ser um mínimo, um máximo ou um ponto cela de uma determinada função. Para encontrar esses candidatos utilizamos um conceito de derivadas.
O conceito é o seguinte:
Mas aqui vamos precisar de um conceito adicional:
Ok,ok né? Como isso me ajuda a resolver a questão?
Bem, aqui nós temos uma ruma de variáveis que são os parâmetros . Logo, precisaremos de 4 equações para resolver o probleminha. Isso não é fantástico?
Mas de onde vem essas equações né?
Uma já vem do enunciado pois ele fala que quando temos que .
Já a outra equação vem da condição de estabilidade do ponto crítico que é e a terceira equação vem da condição de ponto de mínimo pois e finalizamos com a equação que informa que .
com isso temos as 4 equações e 4 variáveis.
Preparado para começar a matemática? Então vamos láá´.
Passo 2
Para um primeiro passo, vamos para o mais prático que é substituir 6 na função derivada do problema gerando a seguinte equação:
Aplicando os pontos informados no problema temos as seguintes equações:
Agora vamos calcular a derivada de segunda ordem:
Aplicando no ponto temos que:
Logo temos que:
Resolvendo o seguinte sistema de equações:
Eliminando o e realizando muita matemática temos que:
Gerando:
Utilizando os dados da questão temos que:
Logo ou ou .
Quando , utilizando as equações obtidas para até o momento temos que:
O que satisfaz as equações, porém quando temos que:
O que entra em contradição, sendo assim temos que:
Utilizando a equação obtida anteriormente para temos que:
Agora precisamos apenas encontrar o valor de e para isso vamos utilizar o seguinte conjunto de informações disponibilizadas no enunciado da questão:
Quando temos que então podemos calcular o valor de através da seguinte igualdade:
Como os valores de forma obtidos anteriormente na calculadora podemos calcular o e encontramos um valor de
Passo 3
Como a questão procura o valor de
Resposta
A resposta é a alternativa