USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 7 - Máximos e Mínimos, Questão 2.4
Sendo α, β e γ os ângulos de um triângulo, calcule o valor máximo de .
Passo 1
O valor máximo de ocorre quando o triângulo é um triângulo equilátero. Nesse caso, todos os ângulos são iguais a e a soma dos senos dos ângulos será máxima.
Portanto, o valor máximo é:
Passo 2
Para provar que o valor máximo de ocorre quando o triângulo é um triângulo equilátero, podemos usar o conceito de desigualdade de Jensen. A função é uma função côncava no intervalo , o que significa que, para qualquer conjunto de números reais no intervalo e seus respectivos pesos que somam 1, a seguinte desigualdade de Jensen é válida:
Agora, vamos aplicar a desigualdade de Jensen aos ângulos de um triângulo, com pesos iguais :
Agora, observe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre radianos . Portanto, podemos escrever:
Agora, substituímos essa relação na desigualdade de Jensen:
Simplificamos ainda mais:
Lembre-se de que . Portanto, temos:
A igualdade ocorre quando , ou seja, quando o triângulo é equilátero. Portanto, o valor máximo de ocorre quando o triângulo é um triângulo equilátero e é igual a .