UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.1.2
Suponha que e são funções diferenciáveis no ponto e que e . Se e atingem um valor máximo local em , então mostre que também atingem um valor máximo local em .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que tem um ponto de máximo local em , sabendo que e atingem um valor máximo local em .
Pra isso, a gente precisa lembrar que para máximos e mínimos, a derivada da curva naquele ponto é nula. Para valores máximos, a derivada de valores a esquerda é positiva e a derivada de valores a direita é negativa, e pra valores mínimos vai ser o contrário. Então, vamos analisar as derivadas a função no ponto e verificar se ele é um ponto de máximo local.
Vamos lá!
Passo 2
Como e atingem máximo local, temos:
Calculando a derivada de pela regra do produto:
No ponto , como , vamos ter:
Mas a derivada nula não implica que é um máximo local. Assim, temos que analisar o sinal antes e depois de .
Vamos analisar antes. Como é máximo local de e , e é positiva para numa vizinhança de . Como e são positivas, segundo o enunciado, próximas de também serão positivas, porque são contínuas nesse ponto. Assim, o sinal de também será positivo para numa vizinhança de .
Analisando, da mesma forma, pra concluímos que é negativa próximo de . Assim, como a derivada de valores a esquerda é positiva e a derivada de valores a direita é negativa, é um ponto de máximo local de .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉