Que valor de a faz f(x) = x^2 + a / x ter:

  1. Um mínimo local em x = 2 ?
  2. Um ponto de inflexão quando x = 1 ?

Passo 1

Para determinar os valores de "a" que tornariam a função f x = x 2 + a x ter um mínimo local em x = 2 e um ponto de inflexão em x = 1 , precisamos calcular a primeira e segunda derivadas da função e, em seguida, analisar as condições necessárias.

Primeira Derivada:

Primeiro, calculemos a primeira derivada de f ( x ) em relação a x :

f ' x = 2 x - a x 2

Segunda Derivada:

Agora, calculemos a segunda derivada de f x :

f ' ' x = 2 + 2 a x 3

Passo 2

Mínimo Local em x = 2 :

Para que x = 2 seja um mínimo local, a primeira derivada deve ser igual a zero, e a segunda derivada deve ser positiva (indicando que é um mínimo local e não um máximo).

Portanto, temos:

f ' 2 = 2 2 - a 2 2

4 - a 4 = 0

Simplificando a equação:

4 = a 4

Multiplicando ambos os lados por 4:

a = 16

Portanto, para que f ( x ) tenha um mínimo local em x = 2 , o valor de a deve ser igual a 16.

Resposta

a = 16

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