UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 22a.
Quais valores de fazem ter
- Um máximo local em e um mínimo local em
- Um mínimo local em e ponto de inflexão em
Passo 1
Vamos analisar as condições para que a função tenha:
- Um máximo local em e um mínimo local em
- Um mínimo local em e ponto de inflexão em
Primeira Derivada:
Primeiro, calculemos a primeira derivada de em relação a
Segunda Derivada:
Agora, calculemos a segunda derivada
- Máximo Local em e Mínimo Local em
Para que seja um máximo local e seja um mínimo local, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
1. Em a primeira derivada e a segunda derivada (para ser um máximo local).
2. Em a primeira derivada e a segunda derivada (para ser um mínimo local).
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com
a) Em
b) Em
Agora, analisamos as condições da segunda derivada:
c) Em
d) Em
Passo 3
Para que seja um máximo local e seja um mínimo local, devemos ter:
a) (equação 1)
b) (equação 2)
c) (equação 3) - Para um máximo local em
d) (equação 4) - Para um mínimo local em
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
Começaremos por equações (1) e (2):
Equação 1:
Equação 2:
Subtrair a equação 1 da equação 2:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos o valor de podemos substituí-lo em qualquer uma das equações (1) ou (2) para encontrar o valor de Vamos usar a equação (1):
E MUITO IMPORTANTE, as inequações 3 e 4. Se substituirmos o valor encontrado, vemos que as derivadas negativas assumem os valores esperados.
Portanto, para que \(f(x)\) tenha um máximo local em e um mínimo local em os valores de devem ser