Para quais valores dos números e a função
tem o valor máximo de ?
Passo 1
A questão quer que a gente ache os valores de e que tornam o ponto um ponto de máximo da função . Para que um ponto seja máximo de uma função, ele precisa ser um ponto crítico, isto é, precisa ser um resultado de
Portanto, vamos começar derivando
Passo 2
Igualando a derivada a zero vamos encontrar os pontos críticos, que são candidatos a máximos e mínimos da função. Vale lembrar que pois caso contrário a função seria constante e igual a zero.
Passo 3
Substituindo nessa última expressão vemos que
Para achar o valor de vamos agora substituir e o valor de encontrado na função .
Passo 4
Agora que temos valores de e a função pode ser reescrita assim
Vamos confirmar que, de fato, a função possui um valor máximo . Para isso vamos usar o teste da primeira derivada.
Como é sempre positivo, o sinal da derivada é influenciado apenas por . Vamos analisar então em que ponto a derivada muda de sinal.
Portanto, em relação ao ponto pedido que é , a derivada é positiva antes desse ponto e negativo depois dele, ou seja, esse ponto é um máximo da função.