Calcule a taxa de variação do volume de um balão esférico em relação ao seu raio, quando o raio do balão é igual a 5   c m

Passo 1

E aí galera, belezinha?

Aqui temos uma questão de taxas relacionadas

O primeiro passo nesse tipo de questão é nomearmos as informações que ele deu

Pra começar, estamos falando do volume de um balão esférico. O volume de uma esfera é dado por

V = 4 3 π r ³

E aí ele quer a taxa de variação desse volume em relação ao raio. Ou seja, a nossa incógnita é

d V d r

Por fim, ele fala que quer essa taxa quando r = 5   c m

O que vamos fazer aqui é derivar a expressão do volume dos dois lados em relação ao raio. Depois é só substituir r = 5   c m , fechou?

Passo 2

O volume do balão é

V = 4 3 π r ³

Derivando dos dois lados em relação a r :

d V d r = 4 3 π ∙ 3 r ²

d V d r = 4 π ∙ r ²

Substituindo r = 5 :

d V d r = 4 π ∙ 5 2 = 4 π ∙ 25 = 100 π   c m 3 / c m

Ou seja, pra cada c m que o raio aumenta, o volume aumenta 100 π   c m ³

Fechou?

Resposta

d V d r = 100 π   c m 3 / c m

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