UFSC – Lista 2.10 – 2020.1 – P9
Considere um movimento em que a aceleração é dada por e atribua as condições inicia e .
- Mostre que essa situação pode ser descrita por encontrar uma função que satisfaz
- Mostre que, para quaisquer números e , a função satisfaz
- Mostre que para satisfazer e , então
Passo 1
E aí gente, tudo na tranquilidade por aí? Vamos primeiro entender esse enunciado doido? Primeiro a gente vai lembrar o que é a definição de aceleração, certo?
A definição de aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
E quem é a velocidade? A derivada da equação do movimento em relação ao tempo, certo?
Então, podemos dizer que:
Ou seja, a aceleração nada mais é do que a derivada segunda da posição , ou seja,
Então, qual vai ser a ideia aqui... na letra (a) a gente vai integrar essa equação e depois substituir as condições de contorno pra obter os valores das constantes. Na (b) vamos aplicar literalmente a derivada segunda que ele pede pra provarmos. E nas outras letras vamos seguir praticamente o mesmo raciocínio da letra (b).
Passo 2
Bora integrar então!!
Integrando a primeira vez, vamos ter:
Integrando mais uma vez:
Aplicando as condições iniciais dadas no enunciado, temos que:
Substituindo na equação de e , vamos encontrar os seguintes valores das constantes:
Substituindo, temos:
Passo 3
Agora precisamos comprar e satisfazer as condições dadas
Vamos ver se vai funcionar?
Aplicando as condições dadas, vamos ver o que acontecerá! A primeira condição já foi dada pelo próprio enunciado, então temos que verificar o restante:
Tcharam, ta aí!!!
Passo 4
(b) Para a letra (b) vamos fazer exatamente o que o enunciado tá falando, pra gente provar que a derivada segunda da função dada na letra (b) vai resultar em
Passo 5
Dada a nossa função de , precisamos ver se ela satisfaz as condições de e .
Então, o enunciado nos diz que ... Fazendo uma comparação com a primeira equação do passo (5), temos que e
Portanto,