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Exercícios Resolvidos de Propriedades de Derivadas

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Enunciado

UFABC – Cálculo 1 – Lista 1 – 6h

Encontre as derivadas das seguintes funções

f x = s e n x + cos ⁡ x s e n x - cos ⁡ x

Passo 1

E aí, galerinha! Agora a gente tem ali um polinômio com denominador e também agora chegaram nossas funções trigonométricas, e uma dica super valiosa é, sempre tentar trabalhar com as derivadas que conhecemos de cabeça basicamente.

d d x s e n x = cos ⁡ x

d d x cos ⁡ x = - s e n ( x )

Toda vez que aparecer alguma função trigonométrica que não seja seno ou cosseno, a dica valiosa é: mudar a função trigonométrica de tal forma que seno e cosseno apareçam!!! Nesse nosso caso, como a função dada já foi de seno e cosseno, então é aplicar nossa derivada normalmente.

Por ter um denominador com a variável x , vamos ter que usar nossa regra do quociente também!!

h x g x ' = h ' x g ( x ) - h x g ' ( x ) g x 2

Passo 2

Vamos chamar h x = s e n x + cos ⁡ x e g x = s e n x - cos ⁡ x

Portanto, nossas derivadas serão:

h ' x = cos ⁡ x - s e n x

g ' x = cos ⁡ x + s e n x

Substituindo na regra do quociente, temos:

f ' x = h x g x ' = h ' x g ( x ) - h x g ' ( x ) g x 2

f ' x = cos ⁡ x - s e n x × s e n x - cos ⁡ x ⏞ I - s e n x + cos ⁡ x × cos ⁡ x + s e n x ⏞ I I s e n x - cos ⁡ x 2

Vamos realizar nossas operações matemáticas de forma separadas para não embolar tudo, ok?

P a r t e   I = cos ⁡ x s e n x - cos 2 ⁡ x - s e n x 2 + s e n x cos ⁡ x

p a r t e   I I = ( s e n x cos ⁡ x + s e n x 2 + cos 2 ⁡ x + s e n x cos ⁡ x

Subtraindo p a r t e   I - p a r t e   I I , temos ao final:

P a r t e   I = cos ⁡ x s e n x - cos 2 ⁡ x - s e n x 2 + s e n x cos ⁡ x

p a r t e   I I = ( s e n x cos ⁡ x + s e n x 2 + cos 2 ⁡ x + s e n x cos ⁡ x

- 2 cos 2 ⁡ x + 2 s e n x 2

Passo 3

No denominador vamos ter:

s e n x - cos ⁡ x 2 = s e n x 2 - 2 s e n x cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x

Logo,

f ' x = - 2 cos 2 ⁡ x + 2 s e n x 2 s e n x 2 - 2 s e n x cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x

Lembrando que s e n x 2 + cos 2 ⁡ x = 1

f ' x = - 2 cos 2 ⁡ x + 2 s e n x 2 - 2 s e n x cos ⁡ x

f ' x = s e n 2 x - cos 2 ⁡ x - s e n x cos ⁡ x

Resposta

f ' x = s e n 2 x - cos 2 ⁡ x - s e n x cos ⁡ x

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