Determine a função g(x) sabendo que (f ∘ g)'(x) = 16x + 12, f(x) = 2x^2 + 2 e g'(x) = 2 .

Passo 1

Bom, pessoal, vamos entender o que essa expressão quer dizer:

f ∘ g x

Isso nada mais é do que uma função composta por outra função, ou seja:

f ( g x )

Quer dizer que a função f tem essa cara aqui f x = 2 x 2 + 2 ... mas, CUIDADO! Esse x é, na verdade a nossa função g desconhecida, porque f é uma função de g .

Então, nós precisamos substituir o x da função de f ( x ) pela função g ( x ) . Mas ainda não conhecemos g x , e agora?

No próximo passo, vamos achar o g ( x ) , mas primeiro vamos entender uma última coisinha do enunciado.

Esse termo esquisito que enunciado nos deu f ∘ g ' x é a derivada dessa função composta, com relação a x :

f ∘ g ' x = f ( g x ) '

Passo 2

Precisamos achar a função g ( x ) e a única coisa que sabemos dela é a sua derivada g ( x ) ' :

g ' x = 2

Você concorda comigo que, para chegarmos nessa derivada, a função original tem que ser esse número 2 multiplicado por x mais uma constante ( c ), que some quando derivamos?

g x = 2 x + c

Pra conferir, deriva isso e você vai ver que o resultado é g x ' = 2 .

Passo 3

Vamos substituir na função f ( x ) o valor de g ( x ) no lugar do x :

f x = 2 x 2 + 2  

f ( g x ) = 2 ⋅ 2 x + c 2 + 2

Desenvolvendo essa expressão:

f ( g x ) = 2 ⋅ [ 2 x 2 + 2 ⋅ 2 x ⋅ c + c 2 ] + 2

f ( g x ) = 2 ⋅ [ 4 x 2 + 4 x c + c 2 ] + 2 = 8 x 2 + 8 x c + 2 c 2 + 2

Agora vamos derivar essa função? Bora:

f g x ' = 8 x 2 + 8 x c + 2 c 2 + 2 ' = 16 x + 8 c

Passo 4

Agora vamos igualar a derivada dada no enunciado pela derivada que calculado:

f g x ' = 16 x + 8 c = 16 x + 12

Chegamos na conclusão que:

8 c = 12

Então:

c = 12 8 = 3 2

Logo, nossa função g ( x ) :

g x = 2 x + 3 2

Chegamos na resposta final que é a nossa função!

Resposta

g x = 2 x + 3 2

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