Qual(is) das afirmações a seguir pode ser verdadeira se f''(x) = x^(-1/3) ?

a f(x) = 3/2 * x^(2/3) - 3

b f'''(x) = -1 / 3 * x^(-4/3)

c(f(x)) = 9 / 10 * x^(5/3) - 7

d(f'(x)) = (3/2) * x^(2/3) + 6

Passo 1

Para essa questão, teremos que pegar cada caso e analisa-lo através da derivada:

Observando a , temos um possível f x . Vamos achar f ' x pela derivação:

f ' x = 3 2 x 2 3 - 3 ' = 3 2 x 2 3 ' - 3 '

= 3 2 2 3 x - 1 3 - 0

= x - 1 3

Repara, se f ' x já for igual a x - 1 3 , é impossível que f ' ' x também seja.

Passo 2

Em b nós temos a derivada terceira. Vamos derivar o f ' ' e ver se o resultado bate:

f ' ' x = x - 1 3 ' = - 1 3 x - 1 3 - 1

= - 1 3 x - 4 3

Bateu!

Passo 3

Agora c temos o f x . Com ele, temos que derivar para achar f ' x e então f ' ' x para ver se bate com o do enunciado:

f ' x = 9 10 x 5 3 - 7 ' = 9 10 x 5 3 ' - 7 '

= 9 10 5 3 x 2 3 - 0

= 3 2 x 2 3

Agora derivamos para ter o f ' ' x e ver se ele bate:

f ' ' x = 3 2 x 2 3 ' = 3 2 2 3 x - 1 3

= x - 1 3

Bateu, então é um f possível

Passo 4

Olhamos o d , que dá um f ' x . Se a derivada desse cara bater, ele é válido:

f ' ' x = 3 2 x 2 3 + 6 ' = 3 2 x 2 3 ' + 6 '

= 3 2 2 3 x - 1 3 - 0

= x - 1 3

Também bateu.

Resposta

b ,   c   e   d   s ã o   f u n ç õ e s   q u e   p o d e m   g e r a r   f ' ' x = x - 1 3

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