Suponha que, após ser lançado para cima, a posição de um projétil é dada por , até o instante em que ele retorna ao solo

a) Calcule o tempo necessário para que o projétil retorne ao solo

b) Determina a velocidade do projétil, para . O que acontece com a velocidade para ?

c) Determine a altura máxima atingida pelo projétil e o tempo necessário para que ele atinja esta altura. O que ocorre com a velocidade nesse instante?

a) Queremos saber quando o projétil retorna pro chão. Ou seja, queremos que

Repara que em dois instantes: em (antes do projétil ser lançado) e em , quando o projétil já foi lançado e retorna pro chão

Quem queremos encontrar é o

Então:

Dessa igualdade, temos duas soluções:

(não nos interessa)

E:

E esse sim nos interessa!

Ou seja, o projétil é lançado e depois de (considerando que o tempo esteja em segundos), ele retorna ao solo

b) A velocidade do projétil vai ser a derivada da posição

Sabemos que a derivada de é o próprio

E a derivada de é

Então, a derivada de vai ser

Boa, já temos a expressão da velocidade para o intervalo de tempo

Aí ele pergunta o que acontece com a velocidade quando , ou seja, quando (o valor que encontramos no item anterior)

Como em o projétil chega ao solo, ele vai ficar parado, certo?

Dessa forma, pra , a velocidade do projétil é 😉

c) A altura máxima do projétil vai ser no ponto de máximo de

O ponto de máximo de uma parábola vai acontecer quando a derivada dela for igual a 0

Ou seja, precisamos igualar a derivada de a 0. Mas sabemos que a derivada de é né? Então

Ou seja, o ponto de máximo acontece após segundos do lançamento

A altura máxima, então, vai ser:

Boaaa, então o projétil chega a de altura!

Bastante né? hahaha