UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.6 – Questão C1c
Nas videoaulas, você viu as primeiras regras de derivação (veja quadros abaixo com três possíveis escritas). Sejam u e v funções de x e c um número real.
Utilize essa tabela e a tabela da lista de exercícios 2.5 na resolução dos exercícios.
Determine a derivada das funções abaixo.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O exercício nos deu essa função aqui
E pediu para encontrarmos a sua derivada! Mas com duas ajudas. A primeira é essa tabela aqui
Com várias regras de derivadas! Essa tabela serve para identificarmos quando nossa função pode ser escrita como um produto/quociente/soma/subtração de outras duas (ou mais) funções! Super útil!
E a segunda é a tabela do exercício 2.5, vou resgatar ela para você:
Então, uma fez identificado como nossa função pode ser reescrita, vamos identificar a derivada das principais funções com essa segunda tabela! E aí é só substituir tudo!
Mas relaxa! Vamos fazer passo a passo, juntinhos!
Passo 2
Nossa função é:
De cara vemos que nossa função é a soma de três termos! Sabemos que a derivada da soma é a soma das derivadas, então vamos derivar termo a termo, depois juntar tudo!
Tranquilo?
Começando por . Sabemos que a cossecante é uma função inversa: é o inverso do seno!
Sendo assim, para derivar essa parte vamos usar a fórmula da quarta linha da primeira tabela, essa aqui
Onde , e , (linhas 2 e 1 da segunda tabela respectivamente)! Substituindo temos
Tudo bem até aqui:
Passo 3
Agora vamos derivar o segundo termo:
A função cotangente pode ser reescrita como a razão entre o cosseno e o seno, assim podemos usar a regra do quociente para achar sua derivada!
A regra do quociente está na quarta linha da primeira tabela:
E no nosso caso e . Resgatando as fórmulas das derivadas do seno e do cosseno (segunda linha da segunda tabela):
Podemos calcular a derivada da cotangente:
E usando a identidade trigonométrica , temos a derivada da cotangente:
Beleza?
vamos para a derivada do último termo?
Passo 4
Agora vamos derivar o terceiro e último termo da função
Vemos aqui a multiplicação de dois termos: um polinômio pela tangente, então logo de cara vamos pensar em regra do produto (terceira linha da primeira tabela):
Com (um polinômio que é bem tranquilo de derivar – primeira linha tabela 2) e , e aqui precisamos de atenção!
Assim como a cotangente, a tangente também é uma divisão de duas funções:
E antes de sair derivando esse terceiro termo, precisamos da derivada da tangente! Mas calma, o processo é bem parecido com a da cotangente, então vamos lá:
A regra do quociente está na quarta linha da primeira tabela:
E no nosso caso e . Resgatando as fórmulas das derivadas do seno e do cosseno (segunda linha da segunda tabela):
Podemos calcular a derivada da cotangente:
E usando a identidade trigonométrica , temos a derivada da cotangente:
Anota aí!
De volta para a derivada do nosso último termo
Usando a regrado produto:
Beleza? Estamos quase lá!
Passo 5
Recapitulando nossa função:
Derivamos cada termo individualmente
Como a soma das derivadas é a derivada da soma:
E taí nosso resultado!
Beleza?
Espero ter ajudado!