Use o gráfico da função para determinar os valores de x em que a função é diferenciável e indique os valores de x em que a derivada é I nula, I I positiva e I I I negativa.

f x = x 2 - 4 ,   x ≤ 0 4 - x 2 ,   x > 0

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Essa é uma questão típica de cálculo 1, onde temos que esboçar o gráfico de uma função e calcular suas derivadas.

Foi dada uma função f x , onde

f x = x 2 - 4 ,   x ≤ 0 4 - x 2 ,   x > 0

Essa função se comporta como f x = x 2 - 4 quando x ≤ 0 e f x = 4 - x 2 quando x > 0

Fui solicitado para plotar o gráfico de f x e com base no gráfico determinar os valores de x onde a derivada de f x é nula, positiva e negativa.

Passo 2

Um ótimo método de esboçar o gráfico é substituir alguns valores em x para encontrar seus valores em y e ligar os pontos plotados, por exemplo

Quando x ≤ 0 , substituir em f x = x 2 - 4 , quando x > 0 , substituir em f x = 4 - x 2

Plotando esses pontos no plano cartesiano, temos

O próximo passo é ligar os pontos, vemos que f x = x 2 - 4 é uma equação de P 2 com x 2 positivo, gerando gráfico de concavidade voltada para cima.

Ao contrário de f x = 4 - x 2 , que é uma equação de P 2 com x ² negativo, gerando um gráfico com concavidade voltada para baixo.

Podemos ver claramente a descontinuidade em x = 0 + , ou seja, nesse ponto a função não é diferenciável.

Passo 3

Com gráfico de f x , montado podemos calcular as derivadas.

A derivada de uma curva está diretamente relacionada à tangente da mesma, uma derivada positiva consiste em uma reta tangente crescente no ponto x calculado, uma derivada negativa consiste em uma reta decrescente no ponto x calculado, já uma derivada nula consiste em uma reta tangente constante, ou seja, paralela o eixo x

Vamos analisar a curva primeiro quando x ≤ 0 , f x = x 2 - 4

Derivando f x , temos

f ' x = 2 x

Neste intervalo x é negativo portanto qualquer número negativo multiplicado por um número positivo resulta em um número negativo, logo

f ' x < 0 = n e g a t i v o

Porém nesse caso quando x = 0 a derivada não pode ser calculada já que os limites laterais nesse ponto são diferentes, logo em x = 0 a função não é diferenciável.

Analisando o gráfico quando x > 0 , f x = 4 - x 2

Derivando f x

f ' x = - 2 x

O mesmo acontece nesse caso, como x é sempre positivo e está sendo multiplicado por um número negativo, a derivada da função quando x > 0 será sempre negativa.

f ' x > 0 = n e g a t i v o

Com isso chegamos à conclusão de que, com exceção de x = 0 , a derivada de f x é negativa e em x = 0 a função não é diferenciável.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

{ f ' x < 0 | x ∈ R ,   x ≠ 0 }

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