Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Propriedades de Derivadas

Ver Teoria
Exercício 100123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899

Enunciado

UFABC – Cálculo 1 – Lista 1 – 6d

Encontre as derivadas das seguintes funções

f x = a x 2 3 - b x x 2 3

Passo 1

E aí, galerinha! Agora a gente tem ali um polinômio também, PORÉMMM como nada na vida é só molezinha, agora nossa variável x está no denominador de duas parcelas da função f ( x ) .

Isso vai fazer com que a gente use a regra do quociente, que, pra você se lembrar eu vou colocar aqui!!

h x g x ' = h ' x g ( x ) - h x g ' ( x ) g x 2

Passo 2

Para a primeira parcela temos:

a x 2 3 = a x 2 3

Vamos chamar de h x = a e g x = x 2 3

Portanto, nossas derivadas serão: h ' x = 0 e g ' x = 2 3   x 2 3 - 1 = 2 3 x - 1 3

Substituindo na regra do quociente, temos:

d d x a x 2 3 = 0 × x 2 3 - a × x - 1 3 x 2 3 2 = - 2 a x - 1 3 3 x 4 3

Passo 3

Na segunda parcela, vamos ter um complicador, porque se você observar bem, além da regra do quociente, vamos precisar aplicar a regra do produto que diz o seguinte:

P x M x ' = P ' x M x + P x M ' x

Olha o porquê que vamos cair nesse rolê aí!

A segunda parcela ali é:

b x x 2 3

Vamos chamar de h x = b e g x = x x 2 3

Portanto, nossas derivadas serão: h ' x = 0 , porém para calcular g ' ( x ) vamos precisar usar nossa regra do produto!!!

Vamos chamar de P x = x e M x = x 2 3 , logo P ' x = 1 e M ' x = 2 3 x - 1 3  

Logo, temos que g x = P x M ( x )

Aplicando a derivada, vamos ter:

g ' x = P x M x ' = P ' x M x + P x M ' x

Substituindo temos:

g ' x = 1 × x 2 3 + x 2 3 x - 1 3

g ' x = x 2 3 + 2 3   x 1 - 1 3

g ' x = x 2 3 + 2 3 x 2 3

g ' x = x 2 3 1 + 2 3

Mas eu quero te chamar atenção para um detalhe aqui, o denominador ao invés de fazermos regra do produto, poderíamos ter usado as propriedades matemáticas que conhecemos.

x   x 2 3 = x   x 2 3 = x 1 + 2 3

Olha que maravilha, se a gente chamar

g x = x 1 + 2 3 → g ' x = 1 + 2 3   x 2 3

TCHARAAAAM, chegamos no mesmo resultado com muito menos passos, né? Então fica aí uma dica valiosa pra você!!!

Passo 4

Dessa forma, lembrando da nossa regra do quociente para segunda parcela:

h x g x ' = h ' ( x ) g x - h x g ' x g x 2

d d x b x x 2 3 = 0 × x 1 + 2 3 - b × 1 + 2 3   x 2 3 x 1 + 2 3 2

d d x b x x 2 3 = - b 1 + 2 3 x 2 3 x 2 + 4 3

Portanto, ao final temos que:

f ' x = - 2 a x - 1 3 3 x 4 3 + b 1 + 2 3 x 2 3 x 2 + 4 3

Reajustando temos:

f ' x - 2 a 3 x 4 3 x 1 3 + b 1 + 2 3 x 2 3 x - 2 + 4 3

f ' x = - 2 a 3 x 5 3 + b 1 + 2 3 x - 8 3

f ' x = - 2 a 3 x 5 3 + b 1 + 2 3 1 x 8 3

Resposta

f ' x = - 2 a 3 x 5 3 + b 1 + 2 3 1 x 8 3

Exercícios de Livros Relacionados

Um objeto é lançado para cima com velocidade inicial v 0 metros por segundo a partir de um ponto s 0 metros acima do solo. Mostre que v t 2 = v 0 2 - 19,6 [ s t - s 0 ]
Se uma pedra for atirada verticalmente para cima sobre a superfície da Lua com uma velocidade de 10 m / s , sua altura (em metros) após t segundos será h = 10 t - 0,83 t 2 Qual a velocidade da pedra a
Em que ponto o gráfico da função y = 1 3 x 3 - 3 2 x 2 + 2 x tem tangente horizontal?. Esboçar o gráfico e analisar o resultado obtido.
Derive a função:29 u = t 5 + 4 t 5
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função: G r = r + r 3