USP– Cálculo 1 – Lista 2 – Questão 1.3
Seja um polinômio de grau 3, com três raízes reais distintas. Mostre que tem um ponto de inflexão, que é a média aritmética das três raízes.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui
Seja um polinômio de grau 3, com três raízes reais
E faz uma afirmação:
Mostre que tem um ponto de inflexão, que é a média aritmética das três raízes
E agora, como mostrar isso?
Quando temos uma função de grau três com três raízes distintas (por exemplo ) podemos escrever em forma de fatoração:
Beleza? Mas e daí?
Sabemos também que um ponto de inflexão é encontrado quando a segunda derivada é zero! É onde a função muda de concavidade! Então precisamos derivar nossa função duas vezes e igualar a zero!
Se tudo der certo, teremos como a média das raízes
Bora lá!
Passo 2
Derivando uma vez nossa função
Beleza?
Passo 3
Agora vamos derivar novamente:
Agrupando os termos semelhantes temos
Abrindo esses produtos
Tudo bem até aqui?
Agora vem o pulo do gato! Para ser ponto de inflexão, a derivada segunda precisa ser zero! Daí temos
E simplificando
Mostramos que para um ponto ser de inflexão em um polinômio de grau três ele deve ser a média aritmética das raízes!
E é isso! Até a próxima!