Encontre as derivadas das seguintes funções

f(x) = x^n / ln(x)

Passo 1

E aí, galerinha! Agora a gente tem ali um polinômio também, porém temos a divisão entre duas funções, e quando isso acontece precisamos usar a regra do quociente que diz:

f x = h x g x

f ' x = h ' x g x - h x g ' ( x ) g 2 ( x )

Vamos aplicar essa regra, ou seja, vamos precisar encontrar as derivadas das duas funções dentro da nossa f ( x ) e depois substituir dentro da f ' ( x ) .

Passo 2

Vamos chamar h ( x ) = x n e g x = l n ⁡ ( x )

h ' x = n   x n - 1

A derivada de l n ⁡ ( u ) é dada por d u u

Portanto, no nosso caso teríamos que:

g ' x = d d x ln ⁡ x = d d x x x = 1 x

Passo 3

Substituindo na regra do quociente, teremos:

f ' x = n   x n - 1 ln ⁡ x - x n 1 x ln 2 ⁡ x

f ' x = n x n - 1 ln ⁡ x - x n - 1 ln 2 ⁡ x

f ' x = x n - 1 n ln ⁡ x - 1 ln 2 ⁡ x

Resposta

f ' x = x n - 1 n ln ⁡ x - 1 ln 2 ⁡ x

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